השערת גולדבך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש להשלים ערך זה ערך זה עשוי להיראות מלא ומפורט, אך הוא אינו שלם, ועדיין חסר בו תוכן מהותי. הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. ראו פירוט בדף השיחה.

השערת גולדבך היא השערה בתורת המספרים, שלפיה כל מספר זוגי גדול מ-4 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים.

מקור הבעיה במכתב ששלח המתמטיקאי הפרוסי כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר, שבו הציג את ההשערות הבאות: כל מספר N שאפשר להציג כסכום של שני ראשוניים, אפשר להציג גם כסכום של שלושה, ארבעה, ועד N ראשוניים (לרבות המספר 1, שבדרך-כלל אינו נחשב ראשוני); וכמו כן, כל מספר אפשר לכתוב כסכום של שלושה ראשוניים. על ההשערה הראשונה העיר אוילר שהיא נובעת מהשערה שהציג לו גולדבך במכתב קודם (שנוסחו המדויק לא נשמר), ולפיה כל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים.

אם אין כוללים את 1 במניין הראשוניים, להשערה על הצגת מספר טבעי כסכום של שלושה ראשוניים יש שני מרכיבים: השערת גולדבך (כפי שנוסחה לעיל) עבור מספרים זוגיים, והאפשרות להציג כל מספר אי-זוגי באחת משתי דרכים: כסכום כאשר p ראשוני אי-זוגי, או כסכום של שלושה ראשוניים אי-זוגיים. ההנחה שלפיה האפשרות השנייה נכונה תמיד ידועה בשם הגרסה החלשה של השערת גולדבך. השערת גולדבך גוררת את הגרסה החלשה, משום שאפשר להציג כל מספר אי-זוגי כסכום של הראשוני 3, ועוד מספר זוגי.

השערת גולדבך נבדקה באמצעות מחשב ונמצאה נכונה לכל מספר עד . ההערכה המקובלת היא שההשערה נכונה, בהתבסס על התפלגותם של המספרים הראשוניים: ככל שמספר זוגי גדול יותר, כך סביר יותר שניתן להציגו כסכום של שני ראשוניים. מובן שזו אינה הוכחה.

[עריכה] תוצאות חלקיות

• בהסתמך על עבודתו של וינוגרדוב על הגרסה החלשה של השערת גולדבך, הראה תאודור אסטרמן (Theodor Estermann) ב- 1938 שכמעט כל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של שני ראשוניים (במובן הבא: שכיחותם של המספרים שאינם ניתנים להצגה כזו שואפת לאפס).

• ב-1939 הוכיח שנילרמן שהצפיפות של קבוצת המספרים הניתנים להצגה היא חיובית, והסיק מכך שכל מספר זוגי ניתן להצגה כסכום של 300000 ראשוניים (או פחות). שיפורים רבים בכיוון זה הביאו לתוצאה הנוכחית (Olivier Ramare, 1995) שכל מספר זוגי ניתן להציג כסכום של ששה ראשוניים.

• ב-1966 הוכיח Chen Jingrun בעזרת שיטת הנפה, שכל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של ראשוני ושל מספר בעל שני גורמים ראשוניים לכל היותר.

• ב-2002 הראו רוג'ר הית'-בראון (Roger Heath-Brown) ו- ג'יי.סי. פצ'טה (J.C. Puchta) שכל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים, ועוד בדיוק 13 חזקות של 2. במלים אחרות, אפשר להציג כל מספר זוגי כסכום של שני ראשוניים, עם 13 טעויות בינאריות.