Teoria delle categorie

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La Teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree della scienza dei computer e fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

[modifica] Categorie

[modifica] Definizione

Una categoria consiste di:

una classe i cui elementi sono chiamati oggetti
per ogni coppia ordinata di oggetti A e B, un insieme Mor(A,B) (oppure indicato con Hom(A,B)) i cui elementi sono chiamati morfismi. Se f è un elemento di Mor(A,B), scriveremo f: A → B
per ogni terna di oggetti A, B e C, è definita un'operazione binaria Mor(A,B) x Mor(B,C) → Mor(A,C), chiamata composizione di morfismi. La composizione di f: A → B con g: B → C si indica con g o f: A → C (talvolta si indica semplicemente gf). Per la composizione devono valere i seguenti assiomi:

(associatività) se f: A → B, g: B → C e h: C → D, allora h o (g o f)=(h o g) o f
(identità) per ogni oggetto X esiste un morfismo id_X: X → X , chiamato il morfismo identità per X, tale che per ogni morfismo f : A → B vale id_B o f = f = f o id_A:

Dagli assiomi si deduce che a ogni oggetto è associato un unico morfismo identità, questo permette di dare una definizione diversa di categoria, dove gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe degli oggetti è un insieme. Molte importanti categorie non sono piccole.

[modifica] Esempi

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

Gli insiemi e le funzioni tra essi
I monoidi e gli omomorfismi tra essi
I gruppi coi loro omomorfismi
Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
Gli spazi topologici e le funzioni continue
Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili

Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto X (il monoide stesso) avendo come morfismi gli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale C^* che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme Mor(A,B) diventa l'insieme Mor(B,A)).
Se C e D sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente ( (f,f') o (g,g'):=(f o g,f' o g') ).

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

[modifica] Tipi di morfismi

Un morfismo f: A → B si chiama

monomorfismo se fg₁ = fg₂ implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : X → A.
epimorfismo se g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : B → X.
isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = id_B e gf = id_A.
endomorfismo se A = B.
automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

[modifica] Funtori

Per approfondire, vedi la voce funtore.

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.
F(g o f) = F(g) o F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, i.e. se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X)). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C^* a D è contravariante.

[modifica] Trasformazioni e Isomorfismi naturali

Due funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D, una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne da F a quella che ne da G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo η_X : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo η_Y ○ F(f) = G(f) ○ η_X; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

Commutative diagram defining natural transformations

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che η_X sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.