Funzione differenziabile

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Il concetto di funzione differenziabile è una nozione su cui si fondano l'analisi matematica e la geometria differenziale. È la generalizzazione in più variabili del concetto di funzione derivabile.

L'idea è quella di una funzione che soddisfi la seguente proprietà: quando si fa uno zoom sul suo grafico a scale sempre più piccole nelle vicinanze di qualsiasi punto la funzione tende a somigliare sempre più ad una trasformazione affine ed il grafico ad un sottospazio affine. Più precisamente quello che si richiede ad una funzione per essere differenziabile è di essere approssimabile nell'intorno di ogni punto con una funzione lineare. La differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere "differenziabile $k$ volte": più volte una funzione è differenziabile, e più il suo grafico è "liscio" e regolare. Si parla in questo caso di funzione di classe $C k$ . Una funzione "differenziabile infinite volte" è detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi $C k$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica come in geometria differenziale queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine funzione differenziabile per definire una funzione liscia.

[modifica] Definizione

Una funzione da $\R$ in $\R$ è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione

$F: U \rightarrow \mathbb R^m$

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\mathbb R^n$ è differenziabile in un punto $x 0$ del dominio se esiste una applicazione lineare

$L:\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m$

tale che la funzione

$x\mapsto F(x_0) + L(x-x_0)$

approssimi la $F$ vicino a $x 0$ . Deve cioè valere:

$\lim_{x\to x_0} \frac {F(x)-\big(F(x_0)+L(x-x_0)\big)}{\|x-x_0\|} = 0.$

Questa condizione può essere riscritta nel modo seguente (sostituendo $x - x 0$ con $h$ ):

$\lim_{h\to 0} \frac {F(x_0+h)-F(x_0)-L(h)} {\begin{Vmatrix} h \end{Vmatrix}} = 0.$

Tutti i termini presenti (incluso $h$ e $0$ ) sono vettori di $\R^n$ oppure $\R^m$ .

Se la $F$ è differenziabile in $x 0$ , l'applicazione $L$ è indicata con la scrittura $dF_{x_0}$ e si chiama differenziale di $F$ in $x 0$ .

La funzione $F$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio. In questo caso, il differenziale $dF_{x_0}$ è un'applicazione lineare che dipende dal punto $x 0$ , come suggerito dalla notazione.

[modifica] Matrice Jacobiana

Per approfondire, vedi la voce matrice Jacobiana.

L'applicazione lineare $DF(\mathbf x_0)$ è rappresentata da una matrice $n \times m$ chiamata matrice jacobiana di $F$ in $\mathbf x_0$ .

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$ , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

Se $m = 1$ , la matrice associata a $DF(\mathbf x_0)$ è un vettore $n$ -dimensionale, chiamato gradiente di $F$ in $\mathbf x_0$ . Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

Se $n = 1$ , la funzione $F$ parametrizza una curva in $\mathbb R^m$ , il suo differenziale è una funzione che (se non è costante) definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

Se $m = n = 1$ , la differenziabilità coincide con la derivabilità e la matrice jacobiana è in realtà un numero, pari alla derivata.

[modifica] Approssimazioni

Una funzione differenziabile intuitivamente è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori.

La trasformazione affine che approssima $F$ in un intorno di $\mathbf x_0$ è la funzione

$\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+DF(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0)$ .

Per verificarlo consideriamo un intorno di $\mathbf x_0$ di raggio $δ$ . Se facciamo uno zoom sul grafico di $F$ in modo che l'intorno ci appaia di raggio $1$ la distanza che vediamo tra la funzione $F$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto $\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h$ è pari a

$\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta$

dove la divisione per $δ$ corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che stiamo operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che vediamo nell'intorno riscalato è

$\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta$ ,

ora è un semplice esercizio dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di $F$ si deduce che

$\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0$ ,

il che significa che quello che vediamo ingrandendo progressivamente il grafico di $F$ e della sua approssimazione affine intorno a $\mathbf x_0$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa la relazione che abbiamo scritto implica direttamente la differenziabilità di $F$ .

[modifica] Differenziabilità e continuità

Una funzione differenziabile in un punto $\mathbf x_0$ è continua in $\mathbf x_0$ . Infatti

$\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix}}+ {A \mathbf h} = \mathbf 0$

per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

[modifica] Differenziabilità e derivate parziali

Se $F:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m$ è una funzione differenziabile in x₀, allora essa ammette tutte le derivate parziali in x₀.

Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in x₀ garantisca anche la differenziabilità in x₀. Ad esempio la funzione reale di due variabili reali

$F(x,y)=\left\{ \begin{matrix} 0 & (x,y)=(0,0) \\ \frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\neq (0,0) \end{matrix} \right.$

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che non sia continua in (0,0) impedisce la sua differenziabilità in (0,0).

Tuttavia se F è di classe C¹ in un intorno di x₀, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono funzioni continue, allora F è differenziabile in x₀. Vale quindi, se $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ è aperto,