Limite di una funzione

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Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica.

Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e di punto di discontinuità. Serve inoltre a definire la derivata ed è quindi basilare per tutto il calcolo differenziale.

Il limite di una funzione $f$ in un punto $x 0$ indica il valore "a cui si avvicinano sempre di più" i valori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini ad $x 0$ . Viene indicato con il simbolo

$\lim_{x\to x_0} f(x).$

Un concetto analogo, ma differente, è quello di limite di una successione. In entrambi i casi si analizza il comportamento di un oggetto matematico che "si avvicina" ad un dato valore: mentre in una successione l'oggetto matematico è un insieme discreto di punti, in una funzione questo è un insieme continuo.

[modifica] Definizione

[modifica] Limite di una funzione

Immagine:Limite1.png

Limite di una funzione in

x 0

Siano dati una funzione

$f: X \rightarrow \R$

definita su un sottoinsieme $X$ della retta reale $\R$ ed un punto di accumulazione $x 0$ di $X$ .

Un numero reale $l$ è il limite di $f (x)$ per $x$ tendente a $x 0$ se la distanza fra $f (x)$ ed $l$ è arbitrariamente piccola quando $x$ si avvicina a $x 0$ .

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi $| x - x 0 |$ è la distanza fra $x$ e $x 0$ e $| f (x) - l |$ è la distanza fra $f (x)$ ed $l$ . Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente, $l$ è limite se

per ogni numero reale $ε > 0$ esiste un altro numero reale positivo $δ$ tale che

| f (x) - l | < ε

per ogni

x

X

con

0 < | x - x 0 | < δ

In questo caso si scrive

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l.$

Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente: $l$ è limite se

per ogni intorno $U$ di $l$ in $\R$ esiste un intorno $V$ di $x 0$ in $\R$ tale che

f (x)

appartiene a

U

per ogni $x \neq x_0$ in $V \cap X$ .

Il valore $x 0$ non è necessariamente contenuto nel dominio di $f$ . Il valore è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di $f$ in punti arbitrariamente vicini ad $x 0$ ma non dal valore che $f$ assume in $x 0$ .

[modifica] Estensione al caso infinito

La definizione di limite viene normalmente estesa per considerare anche i casi in cui $x 0$ e/o $l$ sono infiniti.

La funzione $f$ ha limite infinito $l =+\infty$ in un punto finito $x 0$ se

per ogni numero reale $N > 0$ esiste un altro numero reale $δ > 0$ tale che

f (x) > N

per ogni

x

X

con

0 < | x - x 0 | < δ

In questo caso si scrive

$\lim_{x \to x_0}f(x) = +\infty.$

Analogamente si definisce il limite $-\infty$ sostituendo $f (x) > N$ con $f (x) < - N$ .

Il limite per $x\to +\infty$ è

L

Per definire il limite per $x_0 = +\infty$ , è ancora necessario che $x_0=+\infty$ sia "punto di accumulazione" per il dominio $X$ : questo si traduce nella richiesta che $X$ contenga valori arbitrariamente grandi, cioè che il suo estremo superiore sia infinito:

$\sup X = +\infty.$

In questo caso, un numero finito $l$ è limite di $f$ per $x\to +\infty$ se:

Per ogni numero reale $ε > 0$ esiste un altro numero reale $S > 0$ tale che

| f (x) - l | < ε

per ogni

x

X

con

x > S

In questo caso si scrive

$\lim_{x\to+\infty}f(x) = l.$

Analogamente si definisce il limite per $x \to -\infty$ , sostituendo $x > S$ con $x < - S$ .

Resta quindi da esaminare il caso in cui entrambi $x 0$ ed $l$ sono infiniti. La funzione $f$ ha limite $+ \infty$ per $x\to+\infty$ se

Per ogni numero reale $N > 0$ esiste un altro numero reale $S > 0$ tale che

f (x) > N

per ogni

x

X

con

x > S

In questo caso si scrive

$\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty.$

Si definiscono analogamente i casi in cui $x_0=-\infty$ e/o $l=-\infty$ .

[modifica] Retta estesa e definizione generale

Tutte queste definizioni possono essere raggruppate elegantemente in una sola proposizione: per questo scopo, è sufficiente estendere la retta reale $\R$ alla retta reale estesa

$\reals^* = \reals \cup \lbrace -\infty, +\infty \rbrace$

ottenuta aggiungendo due punti $-\infty$ e $+\infty$ . La retta reale estesa è un insieme ordinato ed uno spazio topologico. Il concetto di intorno si estende quindi alla retta reale estesa: gli intorni di $+\infty$ sono tutti gli insiemi che contengono una semiretta $(a,+\infty )$ , per qualche $a$ .

In questo modo, si possono riunire tutte le definizioni precedenti in una sola proposizione, ottenuta sostituendo $\R$ con $\R^*$ nella definizione che usa gli intorni. Sia quindi

$f: X \to \R^*$

una funzione definita su un insieme $X$ di $\R^*$ , e sia $x 0$ un punto di accumulazione per $X$ . Un valore $l$ in $\R^*$ è limite di $f$ in $x 0$ se

Per ogni intorno $U$ di $l$ in $\R^*$ esiste un intorno $V$ di $x 0$ in $\R^*$ tale che

f (x)

appartiene a

U

per ogni $x \neq x_0$ in $V \cap X$ .

Per il teorema di unicità del limite, una funzione può avere un limite (finito o infinito) in $x 0$ oppure nessuno (non può quindi averne più di uno).

[modifica] Terminologia

Se una funzione ha limite zero in $x 0$ , questa si dice infinitesima in $x 0$ . D'altro canto, se ha limite $\pm\infty$ è detta divergente.

Se $x 0$ è contenuto nel dominio $X$ di $f$ , e se vale

$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$

allora la funzione è continua in $x 0$ . La nozione di continuità è molto importante in matematica: intuitivamente, una funzione continua in $x 0$ ha il grafico che "non fa salti" intorno al punto, ma può essere disegnato manualmente senza staccare mai la penna dal foglio. Altrimenti, la funzione ha in $x 0$ un punto di discontinuità.

[modifica] Esempi

Ecco alcuni esempi dell'utilità dei limiti: lo studio delle funzioni per punti particolari (non continui, oppure la tendenza verso gli estremi del grafico).

La funzione $f (x) = x 2$ è continua in $x 0 = 3$ , perché il suo valore $f (3) = 3 2 = 9$ coincide con il valore ottenuto come limite:

$\lim_{x \to 3}x^2=9.$
Quanto $x$ diventa molto grande, il valore $1 / x$ diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:

$\lim_{x\to\infty}\frac 1x = 0.$
Quando $x$ diventa molto grande, il valore $x 3$ diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a $+\infty$ :

$\lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty.$
La funzione seno oscilla indefinitivamente fra $- 1$ e $+ 1$ , e quindi non tende a nessun limite preciso per $x\to\infty$ . Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori ${\pi \over 2} + 2k\pi$ è costantemente 1 e la restrizione a $-{\pi \over 2} + 2k\pi$ è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:

$\lim_{x\to+\infty} \sin x = {\rm indefinito},$

o più rigorosamente:

$\nexists \lim_{x\to+\infty} \sin x.$

[modifica] Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto

Per avere informazioni più precise è a volte utile utilizzare i concetti di limite destro e limite sinistro, definiti tramite la nozione di intorno destro e sinistro.

Un intorno destro di un punto $x 0$ della retta estesa $\R^*$ è un intervallo del tipo $[x 0, x 0 + r [$ con $r > 0$ . Analogamente, un intorno sinistro è un intervallo del tipo $] x 0 - r, x 0]$ . In particolare, gli intorni di $+\infty$ sono tutti sinistri e quelli di $-\infty$ sono destri.

A questo punto, sia

$f:X\to\R$

con $x 0$ punto di accumulazione per $X$ . Un valore $l$ della retta estesa è limite destro per $f$ in $x 0$ se

Per ogni intorno $U$ di $l$ esiste un intorno destro $V +$ di $x 0$ tale che

f (x)

appartiene a

U

per ogni

x

in $V^+ \cap X$ .

Il limite sinistro è definito in modo analogo. I limiti sinistro e destro (se esistono) vengono descritti rispettivamente come

$\lim_{x \to x_0^+} f(x), \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x).$

Vale il risultato seguente:

Una funzione ha limite in $x 0$ se e soltanto se ha limite destro e sinistro, e questi due limiti coincidono.

La funzione gradino di Heaviside ha un salto in

x 0 = 0

, poiché i limiti sinistro e destro non coincidono.

Ad esempio, la funzione gradino $f$ mostrata in figura ha limite sinistro e destro in $x 0 = 0$ , ma questi non coincidono: quindi non ha limite in $x 0 = 0$ :

$\lim_{x\to 0^-} f(x) = 0, \quad \lim_{x\to 0^+} f(x) = 1.$

Le nozioni di limite per difetto e per eccesso vengono definite in modo analogo, sostituendo l'intorno $U$ di $l$ con intorni destri e sinistri. I limiti per difetto e per eccesso (se esistono) possono essere indicati con un piccolo abuso di linguaggio nel modo seguente:

$l^+ = \lim_{x \to x_0} f(x), \quad l^- = \lim_{x \to x_0} f(x)$ .

[modifica] Proprietà di base

[modifica] Limitatezza locale

Per il teorema di limitatezza locale, una funzione che ha limite finito in $x 0$ è limitata in un intorno di $x 0$ , ovvero esistono un numero $K > 0$ ed un intorno $V$ di $x 0$ tale che $| f (x) | < K$ per ogni $x$ del dominio contenuto in $V$ .

D'altra parte, una successione limitata in un intorno di $x 0$ non ha necessariamente limite in $x 0$ : ad esempio la funzione gradino è ovunque limitata, ma non ha limite in zero.

[modifica] Permanenza del segno

Per il teorema di permanenza del segno, se una funzione ha limite $l > 0$ strettamente positivo in $x 0$ , allora assume valori strettamente positivi per ogni $x$ sufficientemente vicino a $x 0$ . In altre parole, esiste un intorno $V$ di $x 0$ tale che $f (x) > 0$ per ogni $x$ del dominio in $V$ diversa da $x 0$ .

Analogamente, una funzione che ha limite $l < 0$ strettamente negativo ha valori strettamente negativi per tutti gli $x$ sufficientemente vicini a $x 0$ . Una funzione che ha limite $l = 0$ può assumere vicino a $x 0$ valori di entrambi i segni (ad esempio la funzione $f (x) = x$ con $x 0 = 0$ ).

[modifica] Confronto fra funzioni

[modifica] Confronto fra due funzioni

Siano $f$ e $g$ due funzioni definite su un dominio $X$ , con $x 0$ punto di accumulazione per $X$ . Se $f(x) \geq g(x)$ per ogni $x$ del dominio in un intorno $V$ di $x 0$ , e se entrambe le funzioni hanno limite in $x 0$ , allora vale

$\lim_{x\to x_0} f(x)\geq \lim_{x\to x_0} g(x).$

Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza $f - g$ .

[modifica] Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se $f, g$ e $h$ sono tre funzioni definite su un dominio $X$ con punto di accumulazione $x 0$ , tali che

$f(x)\leqslant g(x) \leqslant h(x)$

per ogni $x\neq x_0$ del dominio in un intorno di $x 0$ , e tali che

$\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x) = l$

allora anche

$\lim_{x\to x_0} g(x) = l.$

Viene detto "dei carabinieri" perché $f(x)\,$ ed $h(x)\,$ vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella $g(x)\,$

[modifica] Operazioni con i limiti

Per approfondire, vedi la voce operazioni con i limiti.

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.

Siano $f$ e $g$ due funzioni con lo stesso dominio $X$ , e $x 0$ un punto di accumulazione per $X$ . Se esistono i limiti

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l_1, \quad \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2$

allora

$\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad \forall c \in \R$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2$
$\lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0$
$\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0$

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui $l 1$ e/o $l 2$ sia infinito, facendo uso delle operazioni seguenti:

$l + \infty = + \infty\,\!$
$l -\infty = -\infty\,\!$
$+ \infty + \infty = + \infty\,\!$
$- \infty - \infty = - \infty\,\!$

e se $l \neq 0$ , anche

$l \cdot \infty = \infty$
${l \over 0} = \infty$
${l \over \infty} = 0$

con i segni opportuni calcolati con la usuale regola del prodotto.

[modifica] Generalizzazioni

[modifica] Spazi metrici

Il concetto di limite è generalizzato ad ogni funzione

$f:X\to Y \,\!$

fra spazi metrici $X$ e $Y$ nel modo seguente. Se $x 0$ è un punto di $X$ , un valore $y 0$ di $Y$ è limite di $f (x)$ per $x\to x_0$ se $f (x)$ si avvicina arbitrariamente a $y 0$ quando $x$ si avvicina a $x 0$ . Formalmente, se

Per ogni $ε > 0$ esiste $δ > 0$ tale che

d (f (x), y 0) < ε

per ogni

x

con

0 < d (x, x 0) < δ

In questo caso si scrive

$\lim_{x\to x_0} f(x) = y_0.$

Continua a valere il teorema di unicità del limite: una funzione non può tendere a due limiti diversi in un punto.

[modifica] Spazi topologici

La definizione si estende anche ad una funzione

$f:X\to Y \!\,$

fra spazi topologici $X$ e $Y$ . Se $x 0$ è un punto di $X$ , un valore $y 0$ di $Y$ è limite di $f (x)$ per $x\to x_0$ se

Per ogni aperto $U$ contenente $y 0$ esiste un aperto $V$ contenente $x 0$ tale che

f (x)

appartiene a

U

per ogni $x \neq x_0$ in

V

L'unicità del limite qui può cadere se il codominio non è uno spazio di Hausdorff.

[modifica] Funzioni reali a più variabili

Per approfondire, vedi la voce Limite di funzioni a più variabili.

Lo spazio euclideo $\R^n$ è uno spazio metrico, con la metrica euclidea. Quindi la definizione di limite per spazi metrici si applica a qualsiasi funzione