Integrale di Riemann

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In matematica, l'integrale di Riemann è una costruzione che permette di calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione reale che vive nel piano cartesiano.

È stata storicamente la prima definizione rigorosa di integrale di una funzione. Tuttavia al giorno d'oggi non è considerata la migliore, poiché risulta inapplicabile in molti contesti, nei quali invece è valido l'integrale di Lebesgue, che ne può essere considerato l'estensione.

Prende il suo nome da Bernhard Riemann, matematico tedesco del XIX secolo.

[modifica] Approccio costruttivo

Cominciamo considerando una funzione $f(x)\!$ , definita su un intervallo limitato e chiuso $I\subset\R,\,I = [a,b]\!$ , che su tale intervallo risulti limitata.

Ora suddividiamo l'intervallo $I\!$ , tramite una partizione $\mathcal{P}\!$ , in n intervalli $[x_{s-1},x_{s}]\!$ , e per ogni sub-intervallo definiamo queste due quantità:

$m_s := \inf_{x\in [x_{s-1},x_{s}]} f(x)\! ,$

$M_s := \sup_{x\in [x_{s-1},x_{s}]} f(x)\!$

Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo)

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione $f(x)\!$ limitatamente al sub-intervallo $[x_{s-1},x_{s}]\!$ . Tali valori esistono certamente, poiché la $f(x)\!$ è limitata su tutto l'intervallo $I\!$ , ma non è detto, tuttavia, che siano facilmente calcolabili.

Si definisce somma inferiore di Darboux, relativa alla partizione $\mathcal{P}\!$ , il numero reale:

$s(\mathcal{P}) := \sum_{s=1}^n m_s (x_s-x_{s-1})\!$

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, relativa alla partizione $\mathcal{P}\!$ , il numero reale:

$S(\mathcal{P}) := \sum_{s=1}^n M_s (x_s-x_{s-1})$

Da notare che la funzione di cui abbiamo disegnato il grafico è stata scelta positiva solo per comodità.

Lemma: Integrale di Riemann

Sia $m \leq f(x) \leq M,\, \forall x \in [a,b]$ allora per ogni coppia di partizioni $\mathcal{P},\,\mathcal{Q}\!$ di $[a,b]\!$ si ha:

$m(b-a) \leq s(\mathcal{P}) \leq S(\mathcal{Q}) \leq M (b-a)$

Siano

$\delta = s(\mathcal{P}),\,\forall \mathcal{P}$ partizione di $[a,b]\!$

$\Delta = S(\mathcal{P}),\,\forall \mathcal{P}$ partizione di $[a,b]\!$

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi $\delta,\,\Delta\!$ sono separati cioè:

$s \leq S\qquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta\!$

L'assioma di Dedekind sulla completezza di $\R\!$ afferma allora che esiste almeno un numero reale $\xi \in \R\!$ tale che:

$s \leq \xi \leq S\qquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta\!$

Se vi è un unico elemento di separazione $\xi\!$ tra $s,\,S$ allora si dice che $f(x)\!$ è integrabile in $[a,b]\!$ secondo Riemann e l'elemento $\xi\!$ si indica con:

$\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

e si chiama integrale definito di $f\!$ in $[a,b]\!$ . I numeri $a,\,b\!$ sono detti "estremi di integrazione" ed $f\!$ è detta "funzione integranda".

La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè $\int f(x)dx\!$ ha lo stesso significato $\int f(t)dt\!$ , $\int f(j)dj$ . Il $dx\!$ è detto "differenziale della variabile di integrazione".

[modifica] Definizione

Definizione: Integrale secondo Riemann

L'integrale di $f\!$ nell'intervallo chiuso e limitato $[a,b]\!$ è il limite per n che tende ad infinito della somma integrale

$\sigma_{n}={{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$

se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti $\ t_s$ nel s-esimo subintervallo di $[a,b]\!$ :

$\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})$

L'esistenza di un unico elemento separatore tra $\delta,\,\Delta$ nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:

$s(f) = S(f)\!$

in questo caso:

$s(f) = S(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx\!$

Se la funzione integrabile $f(x)\!$ è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:

$R = \{(x,y)\in\R^2,\,0 \leq y \leq f(x), x \in [a,b]\}\!$ .

Se la funzione $f\!$ cambia segno su $[a,b]\!$ allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

[modifica] Proprietà degli integrali

[modifica] Linearità

Teorema: Linearità dell'operazione di integrazione

Siano $f\!$ e $g\!$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]\!$ e siano $\alpha, \beta \in \R\!$ . Allora:

$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\, dx\!$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

[modifica] Additività

Teorema: Additività dell'operazione di integrazione

Sia $f\!$ continua e definita in un intervallo $[a, b]\!$ e sia $c \in [a, b]\!$ . Allora:

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x)\,dx\!$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

[modifica] Monotonia

Teorema: Monotonia

Siano $f\!$ e $g\!$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]\!$ e $f(x) \geq g(x)\!$ . Allora:

$\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x) dx \!$

[modifica] Teorema del confronto

Teorema: Teorema del confronto

Siano $f\!$ e $g\!$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]\!$ e tali che $f(x) \le g(x)$ in $[a, b]\!$ . Allora:

$\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x)\,dx\!$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

[modifica] Valore assoluto

Teorema: Valore assoluto

Sia $f\!$ funzioni integrabile in un intervallo $[a, b]\!$ , allora si ha:

$\left | \int_a^b f(x)\,dx \right | \leq \int_a^b \left | f(x) \right |\,dx\!$

$fraction$ Nella seguente pagina sono presenti ulteriori contenuti, vedi Dimostrazioni

[modifica] Teorema della media

Teorema: Teorema della media integrale

Se $f:[a,b]\to \mathbb R\!$ è continua allora esiste $c \in [a,b]\!$ tale che ${{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(c)\!$ .

Per approfondire, vedi la voce Teorema della media integrale.

Per approfondire, vedi la voce Teorema della media pesata.

[modifica] Voci correlate

Analisi matematica

Calcolo infinitesimale: Numero reale · Successione · Limite ( di una funzione · di una successione ) · Funzione continua · Serie

Calcolo differenziale: Derivata · Teorema di Rolle e Lagrange · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiano · Hessiano
Integrale: di Riemann, di Lebesgue e improprio · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea e di superficie

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Categoria: Calcolo integrale

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Indice

[modifica] Approccio costruttivo

[modifica] Definizione

[modifica] Proprietà degli integrali

[modifica] Linearità

[modifica] Additività

[modifica] Monotonia

[modifica] Teorema del confronto

[modifica] Valore assoluto

[modifica] Teorema della media

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