Limite di funzioni a più variabili

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In analisi matematica, il limite di funzioni a più variabili è un caso particolare del concetto generale di limite di una funzione, applicato a funzioni del tipo

$f:X\to\R^m$

dove $X$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo $n$ -dimensionale $\R^n$ .

Il limite di una funzione a più variabili è spesso calcolato con criteri ad hoc e presenta aspetti specifici, non presenti per una funzione qualsiasi.

[modifica] Definizione

La definizione di limite per una funzione a più variabili segue da quella più generale per funzioni fra spazi metrici. In particolare, una funzione

$f:X\to\R^m$

definita su un insieme $X$ di $\R^n$ ha limite $l$ in un punto di accumulazione $x 0$ per $X$ se

Per ogni numero reale $ε > 0$ esiste un numero reale $δ > 0$ tale che:

$\|f(x)-l\|<\epsilon$ per ogni

x

X

con $0 <\|x - x_0\|<\delta$ .

La definizione fa uso della norma per vettori in $\R^n$ e di una notazione vettoriale compatta per il punto $x$ . Se esiste il limite $l$ , questo è unico per il teorema di unicità del limite, e si indica ugualmente con

$l = \lim_{x \to x_0} f(x)$

In due variabili si possono ancora scrivere tutte le componenti senza creare una notazione troppo pesante e quindi si troverà scritto, per un limite in $\R^2$ ,

$l = \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x, y)$

[modifica] Componenti

Può risultare utile scrivere le componenti $f_1, f_2, \dots f_m$ della funzione $f$ e notare che la nozione

$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$

è equivalente a

$\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_1(\bold{x})=l_1\!$

$\vdots \!$

$\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_m(\bold{x})=l_m\!$

dove $l = (l_1,\ldots,l_n)$ .

[modifica] Esempio

Il limite seguente non esiste:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \!$

Infatti si ottengono valori diversi avvicinandosi da direzioni diverse. Ponendo $y = 0$ e calcolando il limite destro, si ottiene:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\sqrt{x^2+0^2}} = 1$

Mentre sulla retta $x = 0$ si ricava:

$\lim_{y \to 0} \frac{0}{\sqrt{0^2+y^2}} = 0.$

Nel caso in più variabili la "direzione" lungo la quale si calcola un limite è di fondamentale importanza: se una funzione ha limite nel punto, questo non deve dipendere dalla "direzione scelta".

[modifica] Calcolo

Qui di seguito si usano due particolari metodi di calcolo dei limiti. In pratica per calcolare il limite di una funzione di due variabili $z = f (x, y)$ in un punto $(x 0, y 0)$ , un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili in coordinate polari:

$\begin{cases} x = x_0 + \rho \cos \theta \\ y = y_0 + \rho \sin \theta \end{cases}$

e si compone la funzione: $f (x, y) = F (x 0 + ρ c o s θ, y 0 + ρsinθ)$

Poi vale il teorema:

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \lim_{\rho \to 0} F(x_0 + \rho \cos \theta,y_0 + \rho \sin \theta) = L$

in modo però uniforme rispetto a $θ$ , cioè (vedi la definizione di limite) l'ampiezza dell'intervallo di $ρ$ tale che le immagini siano tutte contenute in un qualsiasi intorno dello 0 deve essere indipendente da $θ$ .

Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per $(x 0, y 0)$ , cioè, all'avvicinarsi a $(x 0, y 0)$ , secondo diverse direzioni:

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \!$

componendo la funzione $f (x, y) = F [x (t), y (t)]$

$\lim_{t \to t_0} F[x(t),y(t)] = L$

dove $(x 0, y 0) = t 0$ . In generale con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano $(x 0, y 0)$ ; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite (come fatto nell'esempio precedente), usando il teorema delle restrizioni.