Vettore (matematica)

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In matematica un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale. I vettori sono quindi oggetti che possono essere sommati fra loro e moltiplicati per dei numeri, detti scalari.

L'esempio classico di vettore è costituito da una ennupla $(x_1,\ldots,x_n)$ di numeri. Se lo spazio vettoriale ha dimensione finita, ogni vettore può essere infatti descritto in questo modo, dopo aver fissato una base dello spazio.

Indice

1 Vettori in matematica e fisica
- 1.1 Vettori nello spazio euclideo
- 1.2 Altri spazi vettoriali
2 Notazioni
- 2.1 Interpretazione matriciale
- 2.2 Notazione
3 Operazioni sui vettori
4 Altri progetti
5 Voci correlate

[modifica] Vettori in matematica e fisica

[modifica] Vettori nello spazio euclideo

Il punto (2,3) può essere descritto come un vettore che parte in (0,0) e arriva in (2,3)

Il piano cartesiano è un esempio fondamentale di spazio vettoriale: un vettore è un punto del piano, determinato da una coppia di numeri reali (x, y). Disegnando una freccia che parte nell'origine (0, 0) e arriva in (x, y), si ottiene il significato fisico di vettore applicato nell'origine. La nozione matematica di vettore corrisponde totalmente alla nozione fisica di vettore applicato nell'origine; questi oggetti infatti si sommano e vengono moltiplicati per scalari allo stesso modo in entrambi i contesti: la regola del parallelogramma usata in fisica corrisponde ad esempio alla somma termine a termine descritta più sotto.

Analogamente, nello spazio tridimensionale un vettore è una terna di numeri reali (x, y, z). Questa nozione si estende naturalmente in dimensione n arbitraria, tramite la definizione dello spazio euclideo

$\R^n = \{(v_1,\ldots,v_n)\ |\ v_i\in\R\}.$

Questo è uno spazio vettoriale di dimensione n, i cui elementi sono ennuple di numeri reali: ogni ennupla

$\mathbf v = (v_1,\ldots,v_n) \,\!$

è quindi un vettore in questo contesto. In particolare, $\R^2$ è il piano cartesiano e $\R^3$ lo spazio tridimensionale (dotato di un sistema di coordinate cartesiano).

[modifica] Altri spazi vettoriali

Si può inoltre sostituire il campo $\R$ dei numeri reali con un altro campo qualsiasi $K$ , ad esempio il campo $\mathbb C$ dei numeri complessi. Una ennupla di numeri complessi è quindi un vettore dello spazio $\mathbb C^n$ .

Gli esempi appena descritti sono fondamentali: ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione finita è in effetti identificabile con $K n$ , dopo aver fissato una opportuna base che permette di descrivere ogni vettore tramite le sue coordinate.

Anche in molti spazi vettoriali di dimensione infinita un vettore può essere descritto come una stringa (infinita) di numeri: questo argomento necessita però di strumenti più sofisticati, quali ad esempio la struttura di spazio di Hilbert.

[modifica] Notazioni

[modifica] Interpretazione matriciale

Una matrice costituita da una sola riga, ovvero di dimensione 1 × n, viene detta vettore riga; una matrice costituita da una sola colonna, ovvero di dimensione n × 1, viene detta vettore colonna. L'operatore di trasposizione, denotato generalmente con una T ad esponente (v^T) trasforma vettori riga in vettori colonna e viceversa. Spesso i vettori di $\R^n$ vengono descritti come vettori colonna, per poter descrivere le trasformazioni lineari come prodotto con una matrice. Questa convenzione è usata ad esempio nelle applicazioni numeriche e nei linguaggi di programmazione orientati alla matematica (come MATLAB ad esempio).

[modifica] Notazione

Generalmente i vettori si denotano ricorrendo a lettere minuscole in grassetto, mentre le sue componenti si denotano come scalari identificati da pedici:

$\mathbf {v}=\left (\begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right)$

In matematica è frequente anche l'uso della sottolineatura in luogo del grassetto. In fisica, invece, spesso si denotano con frecce sovrascritte. Talvolta si utilizza la stessa notazione adottata per uno scalare, ma ciò può rendere meno leggibile l'equazione. Se il vettore è anche versore di una base, di solito si indica con un accento circonflesso ("cappello").

[modifica] Operazioni sui vettori

I vettori possono essere sommati e moltiplicati per uno scalare usando le operazioni che definiscono lo spazio vettoriale a cui appartengono.

Utilizzando strutture diverse dallo spazio vettoriale, è possibile inoltre definire il prodotto tensoriale e il prodotto vettoriale (o prodotto esterno) tra due vettori non necessariamente appartenenti allo stesso spazio vettoriale.

Se lo spazio vettoriale è anche normato è possibile definire la norma di un vettore, se lo spazio vettoriale possiede un prodotto scalare, è possibile definire il prodotto scalare tra due vettori.

I vettori in spazi unidimensionali sono scalari e quindi su di essi è possibile applicare le operazioni del campo K (come la divisione o la radice, quando hanno senso).

Nello spazio euclideo è inoltre definito il prodotto di Hadamard.

[modifica] Somma di due vettori

La somma di due vettori in $K n$ è definita nel modo seguente:

$\left (\begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right)+ \left (\begin{matrix} w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{matrix} \right)= \left (\begin{matrix} v_1+w_1 \\ \vdots \\ v_n+w_n \end{matrix} \right).$

La somma è associativa, commutativa e possiede l'elemento neutro che è il vettore nullo; inoltre ogni elemento ha un opposto. In altre parole, i vettori con la somma formano un gruppo abeliano.

Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione n, dopo aver fissato una base ogni vettore è descrivibile tramite le sue coordinate, e la somma fra due vettori si comporta allo stesso modo.

[modifica] Prodotto di uno scalare per un vettore

Il prodotto di uno scalare $λ$ in $K$ per un vettore in $K n$ è definito nel modo seguente:

$\lambda\left (\begin{matrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{matrix} \right)= \left (\begin{matrix} \lambda v_1 \\ \vdots \\ \lambda v_n \end{matrix} \right).$

Il prodotto è associativo, gode di proprietà distributive e inoltre vale 1v=v.

Se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione n, dopo aver fissato una base ogni vettore è descrivibile tramite le sue coordinate, ed il prodotto per scalare si comporta allo stesso modo.

[modifica] Prodotto tensoriale tra due vettori

Per approfondire, vedi la voce Prodotto tensoriale.

Il prodotto tensoriale fra due vettori v e w rispettivamente in $K n$ e $K m$ è la matrice n × m

$\mathbf {v}\mathbf {w}^T$

dove la T ad apice indica l'operazione di trasposizione ed il prodotto è il prodotto di Kronecker. Ad esempio:

$\begin{bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \\ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \\ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \\ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4\end{bmatrix}.$

Più in generale, dati due vettori v e w appartenenti a due spazi vettoriali V e W sopra lo stesso campo K, il prodotto tensoriale tra i due vettori è un tensore di rango 1

$\mathbf {v}\otimes \mathbf {w} \in \mathbf {V}\otimes \mathbf {W}$

Se $V$ e $W$ sono spazi vettoriali di dimensione n e m, fissate due basi, il prodotto tensoriale $\mathbf {V}\otimes \mathbf {W}$ è descrivibile come uno spazio di matrici ed il prodotto tensoriale in coordinate si scrive come sopra.

[modifica] Prodotto vettoriale o esterno tra due vettori

Per approfondire, vedi la voce Prodotto vettoriale.

Il prodotto vettoriale tra due vettori v e w di $\R^3$ è un altro vettore, definito dalla formula

$\mathbf {v} \wedge \mathbf {w}= \det\left (\begin{matrix} \hat {i} & \hat {j} & \hat {k} \\ {v}_1 & {v}_2 & {v}_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{matrix} \right)$

dove det indica il determinante e $\hat {i}, \hat {j}, \hat {k}$ sono i versori degli assi.

Più in generale, dati due vettori v e w appartenenti a due spazi vettoriali V e W sopra lo stesso campo K, il loro prodotto vettoriale è un elemento del prodotto esterno tra V e W

$\mathbf {v}\wedge \mathbf {w} \in \mathbf {V}\wedge \mathbf {W}$

Il prodotto vettoriale si indica talvolta anche con la notazione

$\mathbf v\times \mathbf w.$

[modifica] Norma di un vettore

Per approfondire, vedi la voce Norma (matematica).

La norma euclidea di un vettore v di $\R^n$ è il numero

$\|\mathbf {v}\|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}.$

Questa quantità è pari alla lunghezza del vettore.

Più in generale, è possibile definire vari tipi di norme su un qualsiasi spazio vettoriale reale o complesso (è possibile anche definire una norma differente da quella euclidea su $\R^n$ ). Uno spazio dotato di norma è detto spazio normato. Ad esempio, lo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso $[a, b]$ può essere dotato della norma

$\|f(x)\|=\max_{x \in [a,b]}|f(x)|.$

[modifica] Prodotto scalare

Per approfondire, vedi la voce Prodotto scalare.

Il prodotto scalare euclideo di due vettori v e w in $\R^n$ è il numero

$<\mathbf {v},\mathbf {w}>=v_1w_1+\cdots+v_nw_n.$

Più in generale, è possibile definire vari tipi di prodotto scalare su uno spazio vettoriale reale o complesso (nel caso complesso si preferisce solitamente definire un prodotto hermitiano). Un prodotto scalare simile a quello euclideo è definito positivo: uno spazio dotato di prodotto scalare definito positivo è uno spazio prehilbertiano o euclideo. Prodotti scalari non definiti positivi sono più particolari, ma comunque ampiamente usati: questi sono utili ad esempio in relatività ristretta per definire lo spaziotempo di Minkowski.

Il prodotto scalare tra due vettori viene indicato usualmente con uno dei simboli seguenti:

$<\mathbf {v},\mathbf {w}>, \quad \mathbf {v} \cdot \mathbf {w}.$

[modifica] Prodotto di una matrice per un vettore

Per approfondire, vedi la voce Prodotto di una matrice per un vettore.

Come detto sopra, i vettori di $K n$ possono essere considerati delle matrici a una riga o una colonna. Per questo motivo è lecito parlare di moltiplicazioni tra matrici e vettori; in ossequio alle regole della moltiplicazione di matrici, un vettore colonna v (di dimensione n × 1) sarà moltiplicabile a sinistra per una matrice A a condizione che il numero di colonne di A sia n. Il risultato sarà un vettore con le stesse dimensioni di v.

Generalmente si intende e si usa questo tipo di moltiplicazione, anche se in linea di principio è anche possibile moltiplicare a destra un vettore 1 × n per una matrice con n righe.

[modifica] Altri progetti

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[modifica] Voci correlate

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Categorie: Calcolo vettoriale | Algebra lineare

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