Diagonalizzabilità

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione n (ad esempio, il piano o lo spazio euclideo) è diagonalizzabile se esistono n "assi" passanti per l'origine che rimangono invariati nella trasformazione. Su ciascuno di questi assi, la trasformazione effettua una omotetia.

Le trasformazioni diagonalizzabili sono importanti perché più facili da studiare: la trasformazione è infatti completamente nota quando si conosce il suo comportamento su questi assi. Ciascun vettore (diverso dall'origine) su uno di questi assi è un autovettore, ed il tipo di omotetia con cui viene trasformato l'asse è il suo autovalore.

Il nome diagonalizzabile deriva dal fatto che una tale trasformazione, scritta rispetto ad una base contenuta negli assi, si scrive tramite una matrice diagonale. Esiste anche la nozione di matrice diagonalizzabile.

[modifica] Esempi informali

La trasformazione del piano cartesiano che sposta ogni punto (x, y) nel punto (2x, -y) è diagonalizzabile. Infatti gli assi x e y rimangono invariati: l'asse x è espanso di un fattore 2, mentre l'asse y è ribaltato rispetto all'origine. Notiamo che nessuna altra retta passante per l'origine rimane invariata.

Una rotazione oraria o antioraria del piano di 90 gradi intorno all'origine non è diagonalizzabile, perché nessun asse viene fissato.

[modifica] Definizioni

Un endomorfismo T di uno spazio vettoriale V, cioè una trasformazione lineare T:V → V, è diagonalizzabile se esiste una base di V fatta di autovettori per T.

Una matrice quadrata è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale. Ricordiamo che, fissata una base B per V, ogni endomorfismo T si descrive come una matrice, detta matrice associata a T rispetto a B. I seguenti fatti sono tutti equivalenti:

una trasformazione T è diagonalizzabile;
esiste una base B tale che la matrice associata a T rispetto a B è diagonale;
la matrice associata a T rispetto a qualsiasi base B è diagonalizzabile.

L'equivalenza discende dai fatti seguenti:

la matrice associata a T rispetto ad una base B è diagonale se e solo se tutti gli elementi di B sono autovettori per T;
due matrici quadrate sono associate alla stessa applicazione T rispetto a basi diverse se e solo se sono simili.

[modifica] Algoritmo

Per approfondire, vedi le voci polinomio caratteristico e teorema di diagonalizzabilità.

Generalmente, per vedere se una applicazione è diagonalizzabile si prende una base qualsiasi e la si traduce in matrice quadrata n x n. Quindi si studia se la matrice ottenuta è diagonalizzabile, calcolandone il polinomio caratteristico, gli autovalori con la loro molteplicità, e quindi usando il teorema di diagonalizzabilità. Elenchiamo qui due situazioni in cui è più facile dare una risposta:

se il polinomio caratteristico ha n radici distinte (ciascuna con molteplicità algebrica 1), la matrice è diagonalizzabile;
se la somma delle molteplicità algebriche delle radici del polinomio caratteristico è minore di n, allora la matrice non è diagonalizzabile.

Nel caso più complesso in cui la somma delle molteplicità è n, ma ci sono radici multiple, la matrice può essere diagonalizzabile o no, e per avere una risposta si devono fare dei calcoli ulteriori: si veda il teorema di diagonalizzabilità.

Ricordiamo i fatti seguenti:

il polinomio caratteristico ha grado n,
la somma delle molteplicità delle radici di un polinomio di grado n è minore o uguale ad n; è proprio n se e solo se il polinomio si "spezza" in polinomi di primo grado, cioè si scrive come

$p(x) = (x-a_1)\cdots (x-a_n),$

e in questo caso le radici sono a₁, ..., a_n, e la molteplicità di ciascuna è il numero di volte in cui compare.
se V è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali (ad esempio, se V è il piano o un qualsiasi spazio euclideo), la somma delle molteplicità delle radici di p(x) è n se e solo se p non ha radici complesse non reali.

[modifica] Esempi

[modifica] Esempio di calcolo

Consideriamo la matrice

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{bmatrix}$

Trovando e scomponendo il polinomio caratteristico, troviamo che i suoi autovalori sono

$\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.$

Quindi ha 3 autovalori distinti, ed è diagonalizzabile.

Se siamo interessati a trovare esplicitamente una base di autovettori, dobbiamo fare del lavoro ulteriore: per ogni autovalore, si imposta l'equazione : $A v_k = \lambda_k v_k\;$ e si cerca un $v_k\;$ . Una base di autovettori per esempio è data da:

$v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.$

Si vede facilmente che sono indipendenti, quindi formano una base, e che sono autovettori, infatti $A v_k = \lambda_k v_k\;$ .

Possiamo scrivere esplicitamente la matrice di cambiamento di base incolonnando i vettori trovati:

$P= \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}.$

Quindi la matrice invertibile P diagonalizza A, come si verifica calcolando:

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.$

La matrice finale deve essere diagonale e contenere gli autovalori, ciascuno con la sua molteplicità.

[modifica] Numeri complessi

Se il campo su cui lavoriamo è quello dei numeri complessi, una matrice n per n ha n autovalori (contando ciascuno con la relativa molteplicità, per il teorema fondamentale dell'algebra). Se le molteplicità sono tutte 1, la matrice è diagonalizzabile. Altrimenti, dipende. Un esempio di matrice complessa non diagonalizzabile è descritto sotto.

Il fatto che vi siano comunque n autovalori implica che è sempre possibile ridurre una matrice complessa ad una forma triangolare: questa proprietà, più debole della diagonalizzabilità, è detta triangolabilità.

[modifica] Numeri reali

Sui numeri reali le cose cambiano, perché la somma delle molteplicità di un polinomio di grado n può essere inferiore a n. Ad esempio la matrice

$B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

non ha autovalori, perché il suo polinomio caratteristico $p (x) = x 2 + 1$ non ha radici reali. Quindi non esiste nessuna matrice reale Q tale che $Q - 1 B Q$ sia diagonale! D'altro canto, la stessa matrice B vista con i numeri complessi ha due autovalori distinti i e -i, e quindi è diagonalizzabile. Infatti prendendo

$Q = \begin{bmatrix} 1 & \textrm{i} \\ \textrm{i} & 1 \end{bmatrix},$

troviamo che $Q - 1 B Q$ è diagonale. La matrice $B$ considerata sui reali invece non è neppure triangolabile.

Ci sono anche matrici che non sono diagonalizzabili né sui reali né sui complessi. Questo accade in alcuni casi, in cui ci sono degli autovalori con molteplicità maggiore di uno. Ad esempio, consideriamo

$C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Questa matrice non è diagonalizzabile: ha 0 come unico autovalore con molteplicità 2, e se fosse diagonalizzabile sarebbe simile alla matrice nulla, cosa impossibile a prescindere dal campo reale o complesso.