Rotazione (matematica)

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In matematica, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto (l'origine dello spazio). I punti che restano fissi nella trasformazione formano un sottospazio: quando questo insieme è un punto (l'origine) o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Indice 1 Due dimensioni 2 Dimostrazione 2.1 Nel piano complesso 3 Tre dimensioni 4 Dimensione arbitraria 5 Voci correlate

[modifica] Due dimensioni

Per approfondire, vedi la voce isometria del piano.

In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione R(θ), che dipende da un angolo θ, e che trasforma il vettore (x, y) in

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione può essere descritta così:

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale di rango due. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo θ intorno all'origine.

La matrice 2 × 2 che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo θ.

[modifica] Dimostrazione

Le formule possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. Sia un punto qualsiasi e siano e le sue coordinate polari. Si ha

il punto , immagine di P in una rotazione di un angolo , ha coordinate polari e . Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dalle , ove si ponga al posto di :

applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle , si ottengono le formule , infatti:

[modifica] Nel piano complesso

Per approfondire, vedi la voce rotazione nel piano complesso.

Una rotazione di angolo θ si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso. In questo modo la rotazione con centro nell'origine si scrive come

[modifica] Tre dimensioni

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta r passante per l'origine, e da un angolo θ di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo θ effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale v₁,v₂,v₃, dove v₁ è il vettore di lunghezza uno contenuto in r e avente direzione giusta. Allora la rotazione trasforma il vettore di coordinate (x,y,z) in:

Senza cambiare base, la rotazione di angolo θ intorno ad un asse determinata dal vettore (x,y,z) è descritta dalla matrice seguente:

[modifica] Dimensione arbitraria

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici n per n che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.

[modifica] Voci correlate

• Matrice ortogonale
• Isometria