Diagonalisoituva matriisi

Wikipedia

Lineaarialgebrassa n×n-neliömatriisia A sanotaan diagonalisoituvaksi jos se on similaarinen jonkin diagonaalimatriisin D kanssa, eli on olemassa kääntyvä matriisi P siten, että

.

Vastaavasti jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, lineaarioperaattoria T : V → V sanotaan diagonalisoituvaksi jos on olemassa V:n kanta missä T on diagonaalimatriisi. Diagonalisoituvat matriisit ja -kuvaukset ovat käyttökelpoisia, sillä niitä on helppo käsitellä: niiden ominaisarvot ja ominaisvektorit on helppo laskea ja diagonalisen matriisin potenssi saadaan korottamalla lävistäjäalkiot annettuun potenssiin. Diagonalisointi on prosessi, jossa diagonaalimatriisi tai -lineaarikuvaus etsitään.

Sisällysluettelo 1 Perusominaisuudet 2 Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia 2.1 Ortogonaalinen diagonalisoituvuus 2.2 Unitaarinen diagonalisoituvuus 3 Katso myös

[muokkaa] Perusominaisuudet

Diagonalisoituvien matriisien ja -lineaarikuvausten päätulos on seuraava.

1. n×n matriisi A, jonka alkiot ovat kunnasta F on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on yhtä suuri kuin n. Tämä lause on yhtäpitävä sen kanssa, että on olemassa Fⁿ:n kanta, joka koostuu A:n ominaisvektoreista. Jos tällainen kanta löydetään, voidaan muodostaa matriisi P, jonka sarakkeina nämä vektorit ovat, ja P ^-1AP on diagonaalimatriisi. Tämän matriisin lävistäjäalkiot ovat A:n ominaisarvot.

1. Lineaarikuvaus T : V → V on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksion dimensioiden summa on dim(V), joka puolestaan tapahtuu silloin ja vain silloin, kun on olemassa V:n kanta, joka sisältää T:n ominaisvektorit. Tällöin T on diagonalisoituva ja sen lävistäjäalkiot ovat T:n ominaisvektorit

Vaihtoehtoisesti voidaan sanoa, että matriisi tai lineaarikuvaus on diagonalisoituva kunnassa F jos ja vain jos sen minimaalipolynomi on tulo F:n erillisistä lineaarisista tekijöistä. Seuraava riittävä, mutta ei välttämätön ehto on usein hyödyllinen:

• Kunnan F n×n-matriisi A on diagonalisoituva jos sillä on n erillistä ominaisarvoa F:ssä, eli sen karakteristisella polynomilla on n erillistä nollakohtaa F:ssä

Nyrkkisääntönä, melkein kaikki kompleksikertoimiset matriisit ovat diagonalisoituvia. Tarkemmin sanottuna kompleksiset n×n matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia, muodostavat nollajoukon Lebesguen mitan suhteen. Voidaan myös sanoa, että diagonalisoituvat matriisit muodostavat tiheän osajoukon Zariski-topologian suhteen. Tämän avaruuden komplementti sijaitseen siinä joukossa, missä diskriminantin karakteristinen polynomi häviää. Tämä avaruus on hyperpinta.

Sama ei päde :ssä: kun n kasvaa, todennäköisyys, että satunnaisesti valittu reaalimatriisi on diagonalisoituva pienenee!

[muokkaa] Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia

Matriisin diagonalisoituvuudelle on olemassa muutamia erityistapauksia diagonalisoivan matriisin erityisluonteen mukaan. Nämä erikoistapaukset koskettavat vain pientä osaa matriiseista ja viittaavat yleensä alkuperäisen matriisin omaavan joitakin erityisominaisuuksia.

[muokkaa] Ortogonaalinen diagonalisoituvuus

Matriisi A on ortogonaalisesti diagonalisoituva, jos on olemassa sellainen ortogonaalimatriisi Q, että

,

missä Q^T on Q:n transpoosi.

[muokkaa] Unitaarinen diagonalisoituvuus

Matriisi A on unitaarisesti diagonalisoituva, mikäli on olemassa sellainen unitaarimatriisi U, että

,

missä U ^* on U:n adjungaatti.

[muokkaa] Katso myös

• Similaarisuus
• Kolmiomatriisi