Kompleksiluku

Wikipedia

Kompleksilukujen joukko C on reaalilukujen luonnollinen laajennus. Kompleksiluku on muotoa

$x + yi \,$

oleva luku, jossa x ja y ovat reaalilukuja ja i on imaginaariyksikkö, jolla on ominaisuus $i 2 = - 1$ . Lukua x kutsutaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua y vastaavasti sen imaginaariosaksi. Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla $y = 0$ . Jos $x = 0$ , kompleksilukua kutsutaan puhtaasti imaginaariseksi.

Jokaiselle C-kertoimiselle polynomiyhtälölle voidaan löytää sen astetta vastaava määrä kompleksiratkaisuja (jotka eivät ole välttämättä keskenään erisuuria, ks. Algebran peruslause). Kompleksiluvut kehitettiinkin alun perin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä $x 2 + 1 = 0$ ei ole reaalisia juuria, sillä $x 2$ on positiivinen kaikilla reaalisilla $x$ . Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut $x$ :n arvoilla +i ja -i.

[muokkaa] Laskutoimitukset

Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakeja, sekä yhtälöä $i 2 = - 1$ :

$(x + yi) + (x' + y'i) = (x + x') + (y + y')i\,$

$(x + yi) - (x' + y'i) = (x - x') + (y - y')i\,$

$(x + yi) \times (x' + y'i) = xx' + xy'i + x'yi + yy'i^2 = (xx' - yy') + (x'y + xy')i\,$

kaikilla reaaliluvuilla x,x',y,y'

Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan liittoluvun eli konjugaatin avulla. Kompleksiluvun $z = x + yi \,$ liittoluku $\bar{z}\,$ on $x - yi\,$ . Määritellään kompleksiluvun moduuli eli itseisarvo $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$ . Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku:

$z\bar{z} = (x + yi)(x - yi) = x^2-y^2 i^2 = x^2+y^2 = \sqrt{x^2+y^2} ^2 = |z|^2$

Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:

${z_1 \over z_2} = {z_1 \bar{z_2} \over \ z_2 \bar{z_2}} = {z_1 \bar{z_2} \over |z_2|^2}$

[muokkaa] Geometrinen tulkinta

Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari, se voidaan esittää koordinaatiston pisteenä tai paikkavektorina. Kompleksilukua $x + y i$ kuvaa tason piste $P (x, y)$ ja paikkavektori OP. Kompleksilukujen ja vektorien yhteenlaskut vastaavat toisiaan.

Kompleksiluku voidaan esittää napakoordinaatiston avulla muodossa $z = r (cosθ + i sinθ)$ , jossa $r$ on kompleksiluvun itseisarvo $| z |$ , ja $θ$ on $z$ :n argumentti, eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma. Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon:

$z_1 z_2 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \times r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2) = r_1 r_2(\cos (\theta_1 + \theta_2) + i\sin (\theta_1 + \theta_2))\,$

${z_1 \over z_2} = {r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1) \over r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)} = {r_1 \over r_2}(\cos (\theta_1 - \theta_2) + i\sin (\theta_1 - \theta_2))\,$

Kompleksilukujen kertolasku voidaan siis jakaa kahteen vaiheeseen: itseisarvojen kertomiseen keskenään, eli paikkavektorin pituuden muutokseen, ja argumenttien yhteenlaskuun, eli vektorin kiertoon. Jakolaskun suhteen voidaan menetellä vastaavalla tavalla sillä erotuksella, että itseisarvojen kertolaskua vastaa jakolasku ja argumenttien yhteenlaskua vähennyslasku.

Kompleksilukujen kertolasku voidaan tulkita geometrisesti myös seuraavasti: Kun kompleksiluku kerrotaan reaaliluvulla, sen paikkavektorin pituus kerrotaan tällä reaaliluvulla, mutta sen suunta pysyy ennallaan tai vaihtuu päinvastaiseksi, jos kerroin on negatiivinen. Kun kompleksiluku kerrotaan imaginaariyksiköllä i, sen paikkavektorin suuntaa kierretään 90 astetta vastapäivään, mutta sen pituus pysyy ennallaan. Kertominen muulla kompleksiluvulla voidaan yhdistää näistä sekä vektorien yhteenlaskusta.

[muokkaa] Historia

Kompleksilukujen historia alkaa kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavojen keksimisestä. Italialainen matemaatikko Girolamo Cardano esitteli nämä kaavat vuonna 1545 julkaisemassaan Ars Magnassa. Cardano ei keksinyt ratkaisukaavoja itse, vaan sai kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan Niccolo Tartaglialta, jolle Cardano oli vakuuttanut ettei paljasta tämän salaisuutta, sillä tämä aikoi julkaista ratkaisun itse. Tartaglia katkeroitukin Cardanolle pahan kerran tämän petettyä lupauksensa. Tartagliakaan ei tosin ollut ratkaisukaavan alkuperäinen keksijä, vaan sen keksi ilmeisesti ensimmäisenä Scipione dal Ferro. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan taas keksi Cardanon apulainen Ludovico Ferrari.

Kolmannen asteen yhtälöä ratkaistaessa ratkaisukaavan avulla päädytään väistämättä neliöjuuren ottamiseen negatiivisista luvuista, jos yhtälöllä on kolme nollasta poikkeavaa reaalijuurta. Tätä tapausta kutsutaan casus irreducibilikseksi , eli redusoimattomaksi tapaukseksi, sillä ratkaisua ei voi tässä tapauksessa löytää ilman jonkinlaista käsitystä kompleksisten lukujen laskusäännöistä. Cardano laskee Ars Magnassa formaalisti tulon $(5+\sqrt{-15})(5-\sqrt{-15})$ ja saa oikean tuloksen 40, huolimatta siitä että hän kieltää negatiivisten lukujen neliöjuurten olemassaolon. On muistettava että Cardanon aikaan negatiivisiakaan lukuja ei aina hyväksytty, Cardano itse kutsui niitä nimellä numeri ficti. René Descartes ei hyväksynyt kompleksisia lukuja ja pilkkasi niitä kutsumalla niitä imaginaarisiksi vuonna 1637 julkaistussa La Géométriessaan.

Leonhard Euler julkaisi vuonna 1748 kirjassaan Introductio nykyään Eulerin lauseena tunnetun tärkeän identiteetin, jonka erityistapaus on $e i π = - 1$ . Euler myös otti käyttöön merkinnän $i$ kuvaamaan lukua $\sqrt{-1}$ . Aikaisemmin samalla vuosisadalla ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre oli keksinyt toisen tärkeän kompleksilukuihin liittyvän kaavan, de Moivren kaavan, vaikka ei sitä nykyään tunnetussa muodossa esittänytkään.