מספר מרוכב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, מספר מרוכב הוא מספר מהצורה $\ a+ib$ כאשר $\,a$ ו- $\,b$ הם מספרים ממשיים, ו- $\ i$ הוא השורש הריבועי של מינוס אחת: $\ i^2=-1$ .

מכיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש בשדה המספרים הממשיים. המספרים המרוכבים מתקבלים על ידי 'המצאת' מספר שאינו ממשי, $\ i$ , ושילובו במספרים הממשיים. מספרים מרוכבים, כדוגמת $\ 3+2i$ , מתקבלים באמצעות הפעולות האריתמטיות הרגילות בין המספרים הממשיים לבין המספר ה'חדש'.

שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש שורש לכל פולינום, לא רק למשוואה $\ x^2=-1$ שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר $\ i$ מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו $\ x^6+x^2+1=0$ או אפילו $\ x^5+(2-i)x+7i=0$ . תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.

תוכן עניינים

1 הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים
2 אריתמטיקה של מספרים מרוכבים
3 הצגה קוטבית
4 שימושים
- 4.1 שימושים במתמטיקה
- 4.2 דוגמאות לשימושים בפיזיקה ובהנדסת חשמל
5 ראו גם
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים

מספר מרוכב נכתב כך: $\ a+bi$ , והוא סכום של שני מספרים - מספר ממשי $\ a$ , ומספר מדומה. מספר מדומה הוא מספר מהצורה $\ bi$ , כאשר $\ b$ , הוא מספר ממשי, ואילו $\ i$ מקיים את התכונה הבאה: $\ i^2=-1$ .

מזהים כל מספר מרוכב $\ a+bi$ , עם הנקודה $\ (a,b)$ , במישור האוקלידי, ומגדירים פעולות חיבור וכפל מיוחדות על נקודות אלו. כתוצאה מכך מתקבל שדה אלגברי. לפרטים נוספים על הבנייה ראו שדה המספרים המרוכבים ולהסבר כללי על שיטת הרחבה זו ראו הרחבת שדות.

אם $\ z=a+bi$ , אז $\ a$ נקרא החלק הממשי של $\ z$ (ומסמנים $\ \operatorname{Re}(z)=a$ ), בעוד ש- $\ b$ נקרא החלק המדומה של $\ z$ (ומסמנים $\ \operatorname{Im}(z)=b$ ).

השימוש בשם 'מספר מדומה' מול 'מספר ממשי' עשוי לתת את התחושה שהמספרים הממשיים "מציאותיים" יותר מהמרוכבים. אין זה נכון, ובחירת השמות מקורה בסיבות היסטוריות ובחוסר האמון שניתן בתחילה במספרים המרוכבים (בתקופות שונות סבלו המספרים השליליים, ואחריהם המספרים הממשיים שאינם רציונליים, מאותו חוסר אמון).

[עריכה] אריתמטיקה של מספרים מרוכבים

המספרים המרוכבים מקיימים

$\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

$\ (a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ .

כמו כן נהוג להגדיר:

ערך מוחלט: $\ |z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ - הערך המוחלט מציין את "גודלו" של המספר המרוכב (מרחקו מן הראשית, כאשר מסתכלים על המספר כעל נקודה במישור המרוכב).
צמוד מרוכב: $\ z^* = \bar{z} = (a+bi)^* = a - bi$

ואז מתקיים: $\ |z|^2 = z\cdot\bar{z}$ .

[עריכה] הצגה קוטבית

מספר מרוכב ניתן להציג גם באמצעות המרחק שלו מהראשית והזווית שהוא יוצר עם ציר ה-x. הצגה זו נקראת הצגה קוטבית (פולרית). על ידי שימוש בטריגונומטריה, ובסימון $\ r = |z|$ מקבלים $\ z = r(\cos\theta + i \sin\theta)$ . באמצעות נוסחת אוילר ניתן לכתוב זאת גם כ- $\ z = r e^{i\theta}$ כאשר את θ ניתן לקבל על ידי הנוסחה $\ \theta = \tan^{-1}(b/a)$ ואת $\ r$ על ידי הנוסחה $r=|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . כמו כן $\ e$ הוא בסיס הלוגריתם הטבעי , על כל התכונות האלגבריות המשתמעות מכך. צורת הצגה זו שימושית ביותר.

[עריכה] שימושים

יש בעיות רבות במתמטיקה ובפיזיקה שקל יותר לתאר ולפתור בעזרת מספרים מרוכבים, גם כאשר אין למספרים אלו זכר בניסוח או בתוצאה הסופית של הבעיה.

[עריכה] שימושים במתמטיקה

באמצעות משפט השארית אפשר לחשב אינטגרלים ממשיים, בייחוד אינטגרלים מוכללים (המכונים גם לא-אמיתיים או לא-נאותים) על כל הישר הממשי: מאפס (או מינוס אינסוף) עד אינסוף.

כמו כן, באמצעות ההצגה הקוטבית ניתן לפתור גם משוואות דיפרנציאליות.

פונקציית זטא של רימן, שהיא פונקציה מרוכבת, קשורה באופן מפתיע קשר להתפלגות של מספרים ראשוניים (ראו גם השערת רימן).

[עריכה] דוגמאות לשימושים בפיזיקה ובהנדסת חשמל

בפיזיקה הקלאסית ניתן להשתמש בהצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים בפתירת משוואות התנועה של מתנד הרמוני, שהן משוואות דיפרנציאליות.

במכניקת הקוונטים, בסיס המצבים של כל מערכת כלול במרחב הילברט מעל המרוכבים. לכל פונקציית גל יש מופע מרוכב שלא משפיע על גודל המשרעת שלה אלא רק על "כיוון" הגל, ומאפשר לה להתאבך עם פונקציות גל אחרות.

מספרים מרוכבים שימושיים במיוחד גם בפתרון בעיות בתורת החשמל ובהנדסת חשמל. בתחומים אלה מסמנים את החלק המרוכב באות $\ j$ במקום באות $\ i$ , מאחר וזו כבר משמשת בהם לסימון זרם.