Número complejo

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$\mathbb{C} \mbox{ Complejos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reales} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionales} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Enteros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturales} \\ & \mbox{Enteros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fraccionarios} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionales} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginarios} \end{cases}$

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que $\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ . Los números complejosjulian representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.

Los númerosjulian complejos son la herramienta de trabajo del álgebrjulian ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Tabla de contenidos

1 Definición
- 1.1 Unidad imaginaria
2 Representación binomial
3 Plano de los números complejos o Diagrama de Argand
4 Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia
- 4.1 Valor absoluto o módulo de un número complejo
- 4.2 Conjugado de un número complejo
5 Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica
6 Módulo y argumento
- 6.1 Geometría y operaciones con complejos
7 Soluciones de ecuaciones polinómicas
8 Variable compleja o análisis complejo
9 Esbozo histórico
10 Aplicaciones
11 Representaciones alternativas de los números complejos
12 Enlaces externos
13 Véase también

[editar] Definición

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

$(a, b) + (c, d) = (a+c) +\; (b+d)i$

Multiplicación

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd) +\; (ad + cb)i$

Igualdad

$(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d$

A la primera componente (que llamaremos a) se la llama parte real y a la segunda (que llamaremos b), parte imaginaria.julian Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que $a = 0$ .

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un juliansubcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

[editar] Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que $(a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a)$ , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

$\mathrm{i} = (0, 1) \,\!$

De donde se deduce inmediatamente que,

$\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1$

[editar] Representación binomial

Cada complejo se representa en forma binomial como:

z = a + bi

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

$a = \hbox{Re}(z)=\Re(z)$

$b = \hbox{Im}(z)=\Im(z)$

[editar] Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. En la parte horizontal o eje real, se colocan los números reales; en el eje vertical o eje imaginario, van los números imaginarios puros.

Dado que cada número complejo consta de una parte real y una imaginaria, puede representarse geométricamente cada número complejo por sus coordenadas en el plano complejo, similarmente al plano de coordenadas cartesianas.

[editar] Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia

[editar] Valor absoluto o módulo de un número complejo

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

$|z| = \sqrt{\hbox{Re}(z)^2 + \ \hbox{Im}(z)^2}$

Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = re^iφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r(cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

$|z| = 0 \Longleftrightarrow z = 0$

$\left| z + w \right| \leq |z| + |w|$

$\left| zw \right| = |z||w|$

$\left | z - w\right| \ge ||z| - |w||$

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

[editar] Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m + 1 son conjugados.

El conjugado de un complejo z (denotado como $\bar{z}$ ó $z^* \,\!$ ) es un nuevo número complejo, definido así:

$\bar{z} = a - \mathrm{i}b \Longleftrightarrow z = a + \mathrm{i}b$

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.

Con este número se cumplen las propiedades:

$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$

$\overline{z} + z = 2\cdot \hbox{Re}(z)$

$\overline{z} - z = 2i\cdot \hbox{Im}(z)$

$\overline{zw} = \bar{z} \bar{w}$

$z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \bar{z} = z$

$|z|^2 = z\bar{z}$

$z \neq 0 \Longrightarrow \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

[editar] Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b ("coordenadas rectangulares") es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posición.

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado $| z |$ .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado $φ$ .

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo $φ$ :

$z = r e i(φ + 2π k)$

[editar] Módulo y argumento

En esta representación, $\textstyle{r}$ es el módulo del número complejo y el ángulo $\textstyle{\phi}$ es el argumento del número complejo.

$\textstyle{\phi} = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) = \arctan \left(\frac{\hbox{Im}(z)}{\hbox{Re}(z)}\right)$

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

$\sin \phi = \frac{b}{r}$

$\cos \phi = \frac{a}{r}$

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

$z = a + \mathrm{i}b ;\; z = r\cos{\phi} + \mathrm{i}r\sin{\phi}$

Sacamos factor común r:

$z = r \left( \cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} \right)$

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:^{[cita requerida]}

$\ z = r \; \operatorname{cis} \; {\phi}$

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos{\phi} + \mathrm{i}\sin{\phi} = e^{\mathrm{i}\phi} ;\; z = r e^{i\phi}$

No obstante, el ángulo $φ$ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

$\forall{k}{\in}\mathbb{Z}\; z = e^{\mathrm{i}(\phi + 2\pi{}k)}$

Por esto, generalmente restringimos $φ$ al intervalo [-π, π] y a éste $φ$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

$z_1 z_2 = rse^{\mathrm{i}(\phi + \psi)} \Leftrightarrow z_1 z_2 = r e^{\mathrm{i}\phi} s e^{\mathrm{i}\psi}$

División:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r}{s} e^{\mathrm{i}(\phi - \psi)}$

Potenciación:

$z^n = r^n e^{\mathrm{i} \phi n} \Leftrightarrow z^n = \left( r e^{i\phi} \right)^{n}$

$z^n =(a + b\mathrm{i})^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b\mathrm{i} + {n \choose 2}a^{n-2} \left(b\mathrm{i} \right)^2 + \ldots + {n \choose {n-1}}a \left(b\mathrm{i} \right)^{n-1} + {n \choose n} \left(b\mathrm{i} \right)^n$

[editar] Geometría y operaciones con complejos

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z₁ =a₁ + ib₁ y z₂ = a₂ + ib₂, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a₁, b₁) y (a₂,b₂), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z₁ + z₂.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z₁ y z₂, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z₁ · z₂. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º, dando como resultado una vuelta completa.

[editar] Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades.También se cumple que si z es una raiz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

[editar] Variable compleja o análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

[editar] Esbozo histórico

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

[editar] Aplicaciones

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r e^iφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma:f(t) = z e^iωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma: f(t) = e^rt.

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

[editar] Representaciones alternativas de los números complejos

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos, pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. La siguiente es una interpretación donde cada complejo se representa matricialmente, como una matriz de orden 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano. Cada una de estas matrices tiene la forma

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix}$

con números reales a y b. La suma y el producto de dos matrices queda de nuevo de esta forma. Cualquier matriz no nula de esta forma es invertible, y su inverso es de nuevo de esta forma. Por consiguiente, las matrices de esta forma son un cuerpo. En efecto, este es exactamente el cuerpo de los complejos. Cualquier matriz puede ser escrita:

$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Lo cual sugiere que se puede identificar la unidad con la matriz

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

y la unidad imaginaria

$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

esto es, una rotación de 90 grados. ¡Nos damos cuenta de que el cuadrado de esta matriz es ciertamente igual a -1!

El valor absoluto de un complejo expresado como una matriz es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz. Si vemos la matriz como una transformación del plano, entonces la transformación rota puntos con un ángulo igual al argumento del complejo y escala multiplicando por un factor igual al valor absoluto del complejo. El complejo conjugado de z es la transformación con la misma rotación dispuesta por z pero en sentido inverso, y escala de la misma manera que z; esto puede ser descrito por la traspuesta de la matriz correspondiente a z.

[editar] Enlaces externos

[editar] Véase también

Categoría: Análisis complejo

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