Norma (matematica)

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In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva.

Indice

1 Definizione
2 Esempi
3 Ulteriori proprietà
4 Struttura topologica
5 Voci correlate

[modifica] Definizione

Una norma su uno spazio vettoriale reale o complesso $X$ è una funzione

$\begin{matrix} \| \cdot \|:& X & \longrightarrow & [0,+\infty)\\ & x & \mapsto &\| x \| \end{matrix}$

che verifica le seguenti condizioni:

$\|x\| \ge 0 \quad \forall x \in X$ e $\| x \|=0$ se e solo se $x = 0$ (funzione definita positiva)
$\| \lambda x \|=|\lambda| \| x \|$ per ogni scalare $λ$ (omogeneità)
$\| x+y \|\leq \| x \|+ \| y \|$ per ogni $x,y \in X$ (disuguaglianza triangolare)

La coppia $(X,\left \| \cdot \right \| )$ si dice spazio normato.

Una funzione che verifichi soltanto la seconda e la terza condizione viene chiamata seminorma: la seminorma assegna la lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero. Una delle due implicazioni della prima condizione (in particolare $\|0\|=0$ ) è comunque automatica dalla seconda condizione e dalle proprietà di uno spazio vettoriale.

[modifica] Esempi

Norme diverse nel piano possono essere visualizzate disegnando la sfera unitaria.

[modifica] Spazi a dimensione finita

[modifica] Valore assoluto

In $\R$ e in $\mathbb C$ la funzione $x \mapsto |x|$ data dal valore assoluto (o modulo) è una norma.

[modifica] Norma euclidea

L'esempio più tipico di norma è quella dello spazio euclideo di dimensione n $\R^n$ :

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|:=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$ (detta "norma euclidea")

[modifica] Norme p

Sono norme di $\R^n$ e di $\mathbb C^n$ anche le funzioni

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|_1:=|x_1|+...+|x_n|$ (detta "norma 1")

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|_p:=(|x_1|^p+...+|x_n|^p)^{\frac 1 p}$ (detta "norma p")

$\left \| (x_1,...,x_n) \right \|_\infty:=\max\{|x_1|,...,|x_n|\}$ (detta "norma infinito")

[modifica] Spazi a dimensione infinita

[modifica] Norma uniforme

Per ogni $K$ sottoinsieme compatto di $\mathbb R^n$ si consideri lo spazio vettoriale delle funzioni continue a valori reali $C(K,\mathbb R)$ . Su questo spazio la funzione

$f \mapsto \left \| f \right \|_\infty:=\sup_{x \in K} |f(x)|$

definisce una norma detta norma uniforme. Fissato $A$ insieme arbitrario, la stessa funzione definisce una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni limitate a valori in ${\mathbb R}$ .