Spazio topologico

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In matematica, lo spazio topologico è l'oggetto base della topologia: si tratta di un concetto molto generale di spazio, accompagnato da una nozione di "vicinanza" definita nel modo più debole possibile. In questo modo molti degli spazi comunemente usati in matematica (come lo spazio euclideo o gli spazi metrici) sono in particolare degli spazi topologici. Intuitivamente, ciò che caratterizza uno spazio topologico è la sua forma, e non la distanza fra i suoi punti, che può non essere definita.

Nel corso della storia sono state proposte varie definizioni di spazio topologico, ed è servito parecchio tempo per arrivare a quella che oggi viene generalmente usata. Nonostante quella odierna possa sembrare piuttosto astratta, ben si adatta a tutti quei concetti che stanno alla base della topologia.

Indice

1 Motivazione
2 Definizione
3 Esempi di spazi topologici
4 Topologie su un insieme
5 Insiemi chiusi
6 Altre definizioni
- 6.1 Intorno
- 6.2 Chiusura e parte interna
7 Spazio di Hausdorff
8 Bibliografia
9 Voci correlate

[modifica] Motivazione

Nell'analisi matematica lo studio delle nozioni di limite e continuità nell'insieme R dei numeri reali e negli spazi euclidei si avvale dell'introduzione del concetto di intorno e del concetto strettamente collegato di insieme aperto. La nozione di convergenza e di continuità possono essere espresse in termini del solo concetto di insieme aperto.

L'idea che sta dietro la nozione di spazio topologico è quella di individuare le proprietà fondamentali di questi concetti che permettono di definire una nozione di continuità - in qualche modo analoga a quella che si ha per gli spazi euclidei - e considerare quindi un'idea astratta di spazio che verifichi solo queste proprietà fondamentali.

La famiglia degli insiemi aperti di R (o di qualunque altro spazio euclideo) soddisfa le seguenti tre condizioni:

l'insieme vuoto e R sono aperti;
l'unione di una quantità arbitraria di aperti è un aperto;
l'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.

Queste tre condizioni sono necessarie e sufficienti per dimostrare diversi risultati importanti, come la preservazione della compattezza e della connessione da parte delle funzioni continue. Per questo motivo esse vengono assunte come le proprietà fondamentali che uno spazio topologico astratto deve verificare.

Gli aperti di uno spazio euclideo godono naturalmente di molte altre proprietà, che tuttavia in questo contesto astratto non sono richieste, in modo da garantire un maggiore livello di generalità, pur permettendo di ottenere dei risultati significativi. Successivamente gli spazi topologici definiti in questa massima generalità vengono classificati in base ad ulteriori proprietà che possono renderli più o meno "simili" a spazi euclidei.

[modifica] Definizione

Uno spazio topologico è una coppia (X, T), dove X è un insieme e T una collezione di sottoinsiemi di X, detti aperti, che soddisfa le proprietà seguenti:

l'insieme vuoto e X sono aperti;
l'unione di una quantità arbitraria di aperti è un aperto;
l'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.

Diciamo quindi che la collezione T di aperti è una topologia per X. Se dal contesto è chiaro di che topologia si sta parlando, per brevità si indica lo spazio solo con il nome X dell'insieme.

[modifica] Esempi di spazi topologici

Consideriamo l'insieme X={a,b,c}.

le collezioni T₁={Ø,X,{a}} e T₂={Ø,X,{a},{b},{a,b}} sono topologie su X;
la collezione T={Ø,X,{a},{b}} non è una topologia su X: infatti in T manca l'unione di {a} e {b}.

[modifica] Topologie su un insieme

Per approfondire, vedi la voce topologie su un insieme.

Un insieme fissato X ammette in generale numerose topologie T differenti. Ad esempio:

T = {Ø,X}, detta topologia banale
T = P(X), detta topologia discreta
T = {U | X\U è finito o è tutto X}, detta topologia cofinita

Qui P(X) è l'insieme delle parti di X. Quindi nella topologia banale solo Ø e X sono aperti, mentre in quella discreta tutti gli insiemi sono aperti.

Due topologie T,T' su un insieme X sono confrontabili se una delle due è sottoinsieme dell'altra. Se T contiene T' , la topologia T è più fine di T' .

Ad esempio, su X={a,b,c} la topologia {Ø,X,{a},{b},{a,b}} è più fine di {Ø,X,{a}}.

L'insieme di tutte le topologie su X formano con questa relazione un insieme parzialmente ordinato, in cui le topologie banale e discreta sono rispettivamente la meno fine e la più fine di tutte.

[modifica] Insiemi chiusi

Oltre alla definizione data all'inizio, ne esiste un'altra equivalente e altrettanto attuale, anche se meno comune, che determina la topologia in termini di chiusi. Se partiamo dagli aperti, chiameremo chiusi i sottoinsiemi che hanno complementare aperto. Se partiamo dai chiusi saranno aperti quelli che hanno complementare chiuso.

Partendo dalla definizione data all'inizio dimostriamo le tre proprietà che caratterizzano i chiusi:

X,Ø sono chiusi, infatti il complementare di X è Ø, che per la definizione iniziale è aperto, e il complementare di Ø è X che è anch'esso aperto;
l'intersezione arbitraria di chiusi è chiusa, infatti il complementare dell'intersezione arbitraria, applicando DeMorgan, è l'unione arbitraria dei complementari di chiusi, che sono aperti, e quindi è aperto;
l'unione finita di chiusi è chiusa, e la dimostrazione è analoga a quella precedente.

Se prendiamo queste tre proposizioni come proprietà che deve soddisfare una collezione di sottoinsiemi per essere una topologia, abbiamo la definizione basata sui chiusi.

Notiamo che un sottoinsieme può essere chiuso, aperto, sia aperto che chiuso, né aperto né chiuso.

[modifica] Altre definizioni

Introduciamo qui alcuni concetti chiave, definiti in ogni spazio topologico (X, T).

[modifica] Intorno

Per approfondire, vedi la voce intorno.

Un insieme U contenente un punto x di X è un intorno di x se esiste un aperto A con

$x\in A \subset U$

[modifica] Chiusura e parte interna

Sia A un sottoinsieme di X. La chiusura di A è il più piccolo insieme chiuso che contiene A (definito come l'intersezione di tutti i chiusi che lo contengono). Analogamente, la parte interna di A è l'aperto più grande contenuto in A. Chiusura e parte interna vengono rispettivamente indicati nel modo seguente

$\bar A,\quad \dot A$

La chiusura di A è anche indicata con Cl(A). La frontiera di A è infine definita come

$\partial A = \bar A \setminus \dot A$

[modifica] Spazio di Hausdorff

Per approfondire, vedi la voce spazio di Hausdorff.

Il matematico Hausdorff definì un suo concetto di spazio topologico, basato su una definizione assiomatica di intorno di un punto. Gli intorni devono soddisfare i seguenti assiomi, chiamati successivamente assiomi di Hausdorff:

ad ogni punto x corrisponde almeno un intorno U(x), contenente x;
se U(x) e V(x) sono intorni dello stesso punto x, allora deve esistere un insieme W(x) che sia sottoinsieme dell'intersezione tra U(x) e V(x);
se y è un punto in U(x), allora esiste un intorno U(y) di y tale che U(y) è un sottoinsieme di U(x);
per due punti distinti x e y, esistono due intorni disgiunti U(x) e U(y).

Uno spazio con queste proprietà prende il nome di spazio di Hausdorff.

Equivalentemente, uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico che soddisfa l'assioma di separazione T₂ (per due punti distinti x e y, esistono due intorni disgiunti U(x) e U(y), ovvero il quarto assioma di Hausdorff).

[modifica] Bibliografia

Munkres J. R., Topology, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000.
Hausdorff, Set Theory, 2nd ed., New York: Chelsea, 1962.
Berge C., Topological Spaces Including a Treatment of Multi-Valued Functions, Vector Spaces and Convexity, New York: Dover, 1997.
Checcucci V., Tognoli A., Vesentini E., Lezioni di Topologia Generale', Milano: Feltrinelli, 1968.
Kelley J.L., General Topology, Princeton: van Nostrand Company, 1955.