Topologie su un insieme

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In matematica, lo studio delle topologie su un insieme consiste nel confrontare le diverse topologie di cui può essere dotato un dato insieme X. Tali topologie formano un insieme parzialmente ordinato, e questa relazione d'ordine, detta relazione di finezza, può essere usata per confrontare due topologie diverse.

[modifica] Definizione

Uno spazio topologico consiste in un insieme X e una topologia T. La topologia T è una collezione di sottoinsiemi di X, detti aperti. Se due topologie T₁ e T₂ sono tali che T₁ è contenuta in T₂ (in altre parole, gli aperti di T₁ sono anche aperti di T₂), allora si dice che T₂ è più fine di T₁.

In questo modo, con l'inclusione l'insieme delle topologie diventa un insieme parzialmente ordinato.

[modifica] Reticolo di topologie

L'insieme delle topologie su X ha un minimo assoluto, dato dalla topologia banale (che è meno fine di qualsiasi altra topologia), ed un massimo assoluto, dato dalla topologia discreta (che è più fine di qualsiasi altra topologia).

L'insieme delle topologie è un reticolo: ogni collezione di topologie ha un minimo comune (le loro intersezioni) ed un massimo comune (generato dalle loro unioni).

[modifica] Esempi

Uno spazio di funzioni ammette spesso alcune diverse topologie. Ad esempio, lo spazio delle funzioni continue definite sull′intervallo [0, 1] può essere dotato della topologia della convergenza puntuale o della convergenza uniforme: la seconda è più fine della prima.