Superficie (matematica)

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Il concetto di superficie si forma in modo intuitivo nell'esperienza quotidiana, considerando ad esempio il bordo di oggetti concreti o lamine estremamente sottili. In matematica queste idee vengono formalizzate intendendo con superficie un ente geometrico che si può pensare generato in vari modi, come dal movimento continuo di una linea oppure dal contorno di un corpo solido. Essa può essere piana, curva, limitata, illimitata, chiusa o aperta. Le definizioni matematiche sono diverse ma sono tutte quante racchiuse nella nozione di "superficie astratta" e di varietà differenziabile. Nei casi più comuni il termine è usato per riferirsi a superfici in uno spazio tridimensionale.

Indice

1 Superficie nello spazio tridimensionale
- 1.1 Definizioni
- 1.2 Relazioni fra le definizioni
2 Superficie astratta
3 Altre definizioni
4 Tipologie di superfici
5 Superfici notevoli
6 Note
7 Voci correlate
8 Collegamenti esterni

[modifica] Superficie nello spazio tridimensionale

[modifica] Definizioni

Una superficie in uno spazio euclideo tridimensionale (dotato un sistema di assi cartesiani x,y,z), viene generalmente definita in tre modi distinti, riconducibili l'uno all'altro solo sotto opportune condizioni. A seconda della definizione si dice che la superficie è data in forma implicita, forma esplicita o forma parametrica

Forma parametrica - viene chiamata superficie l'immagine di una funzione continua e iniettiva di due variabili reali nello spazio euclideo tridimensionale $\varphi: A \to \R^3$ dove $A$ è un insieme aperto del piano $\R^2$ . Le coordinate dei punti della superficie sono date dalle equazioni parametriche:

$x=\varphi_1(u,v)$

$y=\varphi_2(u,v)$

$z=\varphi_3(u,v)$

al variare dei due parametri u e v nell'aperto $A$ . Questa è la definizione generalmente più utile ai fini pratici, in quanto permette in modo agevole il calcolo di aree e di integrali di superficie.
Forma implicita - la superficie viene definita come il luogo dei punti le cui coordinate (x,y,z) soddisfino una equazione cartesiana:

$F(x,y,z)=0\,$

dove $F$ è una funzione differenziabile a valori reali, con gradiente mai nullo^[1].
Forma esplicita - la superficie viene definita come grafico di una funzione reale del piano: data una funzione $f: \R^2 \to \R$ continua, la superficie è l'insieme dei punti (x,y,f(x,y)). Spesso si indica la superficie semplicemente tramite l'equazione

$z=f(x,y)\,$

[modifica] Relazioni fra le definizioni

Si vede immediatamente che ogni superficie scritta in forma esplicita si può ricondurre alla forma implicita, semplicemente ponendo

$F(x,y,z)=z-f(x,y)\,$ .

Il procedimento inverso, invece, non sempre è possibile.

Ogni superficie definita esplicitamente si può sempre scrivere anche in forma parametrica, ponendo

$x=u\,$

$y=v\,$

$z=f\,(u,v)$

Anche in questo caso il procedimento inverso non sempre è valido. Si vede quindi che la definizione esplicita è più forte delle altre due, nel senso che la classe delle superfici che possono essere definite in modo esplicito è più ristretta rispetto a quelle relative alle forme implicite e parametriche.

Le condizioni sotto le quali una superficie data in forma implicita si possa ridurre in forma esplicita si possono trovare come corollari al teorema della funzione implicita.

[modifica] Superficie astratta

[modifica] Definizione

La bottiglia di Klein è una superficie che non può essere immersa in $\R^3$ .

Una definizione molto più generale, indipendente dallo spazio ambiente ( $\R^3$ nei casi visti sopra), si ottiene chiamando superficie una generica varietà topologica di Hausdorff avente dimensione 2. Le definizioni esposte sopra forniscono esempi di superfici immerse nello spazio tridimensionale. Non tutte le superfici astratte sono però ottenibili come varietà immerse in $\R^3$ : la bottiglia di Klein non è visibile dentro allo spazio tridimensionale (può però essere immersa nello spazio quadridimensionale $\R^4$ ).

In molti contesti è più utile definire una superficie come varietà differenziabile invece che topologica. La differenza però non è sostanziale.

[modifica] Orientabilità

Il nastro di Möbius ha una faccia sola.

Una superficie è orientabile se ha due "facce", non orientabile se ne ha una sola. Un esempio di superficie non orientabile è il nastro di Möbius.

[modifica] Genere

Il toro ha genere 1.

Il genere di una superficie è il "numero di manici" (o "buchi") che contiene. Ad esempio, la sfera ha genere zero, mentre il toro ha genere 1.

[modifica] Classificazione topologica

Per approfondire, vedi la voce Classificazione delle superfici.

Le superfici più semplici usate in topologia sono le superfici di tipo finito. Queste sono interamente classificate da quattro valori: il genere, il numero di componenti di bordo, il numero di buchi, e l'orientabilità.

[modifica] Altre definizioni

Nell'ambito della geometria complessa, una superficie complessa è una varietà complessa di dimensione 2. Si tratta di un oggetto completamente diverso dalla usuale superficie, poiché ha topologicamente dimensione reale 4.

Infine, a seconda dei contesti, si può indicare col termine superficie strutture con caratteristiche diverse da quelle citate sopra; ad esempio, si può chiamare brevemente superficie un'ipersuperficie in uno spazio euclideo (o in una varietà differenziabile), cioè una varietà di dimensione inferiore a quella dello spazio ambiente (ma non necessariamente 2), talvolta si parla anche di superfici frattali, indicando strutture frattali costruite a partire da una superficie, ma che, in definitiva, non ne conservano alcuna caratteristica specifica.