Топологическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Топологи́ческое простра́нство — основной объект изучения топологии как раздела математики (термин "топология" в его рамках - см. ниже). Понятие топологического пространства можно рассматривать как обобщение понятия геометрической фигуры, и метрического пространства в котором рассматриваются только свойства сохраняющиеся при непрерывных деформациях.

Топологические пространства возникают естественно почти во всех разделах математики.

[править] Определение

Пусть дано множество $X$ . Система $\mathcal{T}$ его подмножеств называется тополо́гией на $X$ , если выполнены следующие условия:

Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих $\mathcal{T}$ , принадлежит $\mathcal{T}$ , то есть если $U_{\alpha} \in \mathcal{T} \quad \forall \alpha \in A,$ то $\bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha} \in \mathcal{T}.$
Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих $\mathcal{T}$ , принадлежит $\mathcal{T}$ , то есть если $U_{i} \in \mathcal{T} \quad i = 1,\ldots,n,$ то $\bigcap\limits_{i=1}^n U_i \in \mathcal{T}.$
$X,\varnothing \in \mathcal{T}.$

Пара $(X,\mathcal{T})$ называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие $\mathcal{T}$ , называются открытыми множествами.

[править] Примеры

Вещественная прямая $\R$ является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов {(a, b) | a, b из $\R$ } является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии. Например, $\R_\to$ , прямая с «топологией стрелки» где открытые множества имеют вид $(a,\infty)$ . Или топология Зариского в которой любое замкнутое множество это конечное множество точек.

Вообще, евклидовы пространства $\R^n$ являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. Таковы, например, изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные пространства функций.

Рассмотрим множество С(X, Y) непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами C(K, U), состоящими из отображений, при которых образ компакта K в X лежит в открытом множестве U в Y.

Произвольное множество X можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств X. А именно ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство X.

[править] Способы задания топологии

[править] Задание топологии с помощью базы или предбазы

Основная статья: База топологии

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии $\mathfrak{B} \subset \mathcal{T}$ называется базой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из $\mathfrak{B}$ , то есть

$\forall U \in \mathcal{T}\; \exists \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathfrak{B}\,: \,U = \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.$

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов. Для того, чтобы систему множеств $\mathfrak{P}$ можно было объявить предбазой топологии, необходимо и достаточно, чтобы она покрывала всё пространство X.

Наиболее часто предбазы используются для задания топологии, индуцированной на X семейством отбражений (см. далее).

[править] Индуцированная топология

Пусть $f:X\to Y$ — произвольное отображение, множества $X$ в топологическое пространство $Y$ . Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на $X$ : За открытытые множества в $X$ берутся всевозможные прообразы открытых множеств в $Y$ ; т.е., $U\in X$ открыто если существует открытое $V\in Y$ такое что $U = f - 1 V$ .

[править] Задание топологии с помощью замкнутых множеств

Множество $F\subset X$ называется замкнутым, если его дополнение $U = X \setminus F$ — открытое множество. Задать топологию на X системой замкнутых множеств — значит предъявить систему $\mathcal{P}$ подмножеств X со свойствами:

Система $\mathcal{P}$ замкнута относительно операции пересечения множеств (в том числе бесконечных семейств):

$\forall \alpha\in A \quad F_{\alpha}\in\mathcal{P} \Rightarrow \bigcap\limits_{\alpha\in A} F_{\alpha} \in \mathcal{P}$
Система $\mathcal{P}$ замкнута относительно операции объединения множеств (в конечном количестве):

$F_1,\, F_2\in \mathcal{P} \Rightarrow F_1\cup F_2\in \mathcal{P}$
Множества $X,\,\varnothing$ включены в систему $\mathcal{P}$ .

Если система множеств с такими свойствами задана, с помощью операции дополнения строится система $\mathcal{T}$ открытых множеств, задающая топологию на X.

$\mathcal{T} = \{X\setminus F: \, F\in \mathcal{P}\}$ .

Пример. Пусть $B$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца $B$ называется множество $X = S p e c B$ всех его простых идеалов. На множестве $X$ топология вводится с помощью системы замкнутых множеств: пусть $\mathfrak{a}$ — произвольный идеал кольца $B$ (не обязательно простой), тогда ему соответствует множество

$V(\mathfrak{a}) = \{\mathfrak{p}\in X:\, \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}\}$ .

Все множества такого вида образуют систему множеств, удовлетворяющую перечисленным аксиомам, так как

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}V(\mathfrak{a}_{\alpha}) = V(\sum\limits_{\alpha\in A} \mathfrak{a}_{\alpha}),\quad V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}) = V(\mathfrak{a}\cdot\mathfrak{b}),\quad V((0)) = X, \quad V((1)) = \varnothing.$

Спектры колец — фундаментальный объект алгебраической геометрии.

Пример. Топология Зарисского в пространстве X=Cⁿ также задаётся с помощью системы замкнутых множеств. Замкнутыми множествами в топологии Зарисского принимаются все множества, являющиеся множеством общих нулей конечной системы многочленов. Выполнение аксиом системы замкнутых множеств следует из нётеровости кольца многочленов C[z₁,z₂,...,z_n] и того факта, что общие нули произвольной системы многочленов совпадают с общими нулями идеала, который они образуют.
Пространство X = Cⁿ естественно вложено в спектр кольца многочленов Y = Spec C[z₁,z₂,...,z_n] (оно совпадает с множеством всех его замкнутых точек), и топология Зарисского на X совпадает с той, что индуцирована топологией пространства Y.

[править] Непрерывные отображения

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств f: (X,T_X) → (Y,T_Y) называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория Top всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи алгебраических инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

[править] См. также

Словарь терминов общей топологии

Категории: Топология | Топологические пространства

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Топологическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Определение

[править] Примеры

[править] Способы задания топологии

[править] Задание топологии с помощью базы или предбазы

[править] Индуцированная топология

[править] Задание топологии с помощью замкнутых множеств

[править] Непрерывные отображения

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках