노름
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‘노름’은 도박을 뜻하는 말이기도 하다. |
수학의 선형대수학 및 함수해석학 등의 분야에서 노름(norm) 혹은 노음은 벡터공간의 벡터들에 대해 일종의 '길이' 혹은 '크기'를 부여하는 함수이다. 영 벡터의 노름은 0이며, 그 외의 모든 벡터는 양의 실수 노름을 갖는다. 노름의 정의에서 영 벡터 이외의 벡터도 노름이 0이 될 수 있도록 조건을 약화하면 이는 반노름(seminorm)이 된다.
간단한 예로 2차원 유클리드 공간 R2에는 유클리드 노름이 주어져 있어서, 예를 들어 점 (3,4)는 피타고라스 정리에 따라 원점으로부터의 거리 "5"를 노름으로 갖는다. 이와 같이 노름이 주어진 벡터공간을 노름벡터공간, 줄여서 노름공간이라고 한다. 마찬가지로 반노름이 주어진 공간은 반노름공간이라고 한다.
[편집] 정의
F가 복소수체의 부분체(예: 실수체나 유리수체 등)이고 V가 그 위의 벡터공간이라 하자. 이때 V 상의 반노름이란 함수 p: V → R로서 임의의 F의 원소 a과 V의 원소 u, v에 대해 다음의 두 조건을 만족하는 것이다:
- p(a v) = |a| p(v) (양의 동차성),
- p(u + v) ≤ p(u) + p(v) (삼각 부등식 혹은 준가법성).
위의 두 조건으로부터 p(0) = 0임을 알 수 있으며, 따라서 다음이 성립한다:
- p(v) ≥ 0 (양수성).
여기에 더해, 반노름 p가 다음의 조건까지 만족하면 이를 노름이라 한다:
- p(v) = 0일 필요충분조건은 v = 0 (양의 정부호성).
많은 경우 벡터 v의 노름을 p(v) 대신 ||v|| 혹은 |v|로 나타낸다.
