Funtore

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In matematica, è spesso utile tradurre problemi geometrici o topologici in fatti algebrici o insiemistici, che spesso risultano di più facile risoluzione. Questo passaggio viene fatto normalmente tramite un funtore.

[modifica] Definizione

Un funtore è una mappa fra categorie che ne conserva le strutture.

Più precisamente, un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
ad ogni morfismo f: X→ Y un morfismo F(f): F(X)→ F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.
F(g o f) = F(g) o F(f) per tutti i morfismi f: X → Y e g: Y → Z.

Un funtore controvariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, i.e. se f: X→ Y, allora F(f): F(Y)→ F(X). Ogni funtore covariante da C a D induce un funtore controvariante tra le categorie duali C^* e D^*.

[modifica] Esempi

Funtore costante: Un funtore "banale" tra due categorie C → D qualsiasi è quello che mappa ogni oggetto di C su un oggetto fissato X in D e ogni morfismo di C sul morfismo identità di X.

Spazio vettoriale duale: La mappa che associa ad ogni spazio vettoriale il suo spazio duale e ad ogni applicazione lineare la sua duale è un funtore controvariante dalla categoria degli spazi vettoriali (con campo fissato) in sé.

Gruppo fondamentale: uno spazio topologico puntato è una coppia (X, x) dove X è uno spazio topologico e x è un punto di X. Il gruppo fondamentale è un funtore covariante dalla categoria degli spazi topologici puntati a quella dei gruppi, che associa alla coppia (X, x) il gruppo π₁(X, x).

Algebra delle funzioni continue: associando ad ogni spazio topologico X l'algebra reale C(X) delle funzioni continue da X in R otteniamo un funtore controvariante dalla categoria degli spazi topologici a quella delle algebre reali.

Spazio tangente e cotangente: La mappa che manda ogni varietà differenziabile nel suo fibrato tangente ed ogni funzione liscia nella sua derivata è un funtore covariante dalla categoria delle varietà differenziabili in quella dei fibrati vettoriali. Associando il fibrato cotangente otteniamo un funtore controvariante.

Algebre di Lie: Associando ad ogni gruppo di Lie la sua algebra di Lie otteniamo un funtore covariante.

Prodotto tensoriale: Se C è la categoria degli spazi vettoriali su un campo fissato, il prodotto tensoriale determina un funtore C x C → C covariante in entrambi i fattori.

Funtore "dimentica": Il funtore che associa ad ogni gruppo l'insieme soggiacente è un funtore dalla categoria dei gruppi a quella degli insiemi, in cui semplicemente ogni gruppo si "dimentica" di avere una struttura. Funtori analoghi si definiscono ad esempio dagli anelli ai gruppi.

Funtore Hom: Fissiamo un gruppo G. Associamo quindi ad ogni gruppo H il gruppo Hom(G, H) fatto da tutti gli omomorfismi da G in H. Questo è un funtore covariante dalla categoria dei gruppi in sé. Se associamo ad H il gruppo Hom(H, G), otteniamo invece un funtore controvariante.