Fonone

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il fonone è una quasiparticella che descrive un quanto di vibrazione in un reticolo cristallino rigido.

Lo studio dei fononi è importante nella fisica dello stato solido poiché essi giocano un ruolo importante nella comprensione di molte proprietà dei solidi quali il calore specifico, la conduzione termica, la conduzione elettrica e la propagazione del suono. Il nome fonone deriva da phonos in greco suono, voce.

I fononi sono la controparte quantistica di quello che in meccanica classica è noto come sviluppo in modi normali ovvero la scomposizione delle vibrazioni in "vibrazioni elementari" (dette modi normali). In quest'ottica tutte le vibrazioni possono essere viste e descritte formalmente come una sovrapposizione dei modi normali. Le vibrazioni elementari da un punto di vista classico, nel seguito descritte nel caso unidimensionale, sono delle onde.

Dal punto di vista della meccanica quantistica anche nei fononi si può osservare il dualismo onda-particella, ovvero la presenza contemporanea di proprietà delle onde e delle particelle. La manifestazione più evidente del comportamento di particella è dato dallo scattering Brillouin e Raman, in cui l'interazione tra fotoni e fononi viene matematicamente descritta come un semplice processo d'urto.

[modifica] Storia

I fononi furono introdotti all'inizio del novecento da Debye ed Einstein all'interno dei rispettivi modelli per il calore specifico dei solidi, quando videro che il calcolo della funzione di partizione (e quindi delle quantità caratteristiche della meccanica statistica come l'energia media ed i numeri d'occupazione medi) relativa alle oscillazioni del reticolo cristallino portava a risultati analoghi a quelli ottenuti nell'ambito della teoria statistica delle particelle identiche di spin intero; i bosoni. Fu appunto in base a questa analogia con i bosoni che portò ad identificare i modi normali del reticolo cristallino con i fononi. Come i fotoni sono quanti di onde elettromagnetiche, nel modello di Debye, i fononi sono quanti di onde sonore che si propagano all'interno del solido.

La spiegazione microscopica della superconduttività si basa sullo scambio tra elettroni di fononi che danno luogo alle cosiddette coppie di Cooper.

Nel seguito viene descritto il modello classico delle vibrazioni elementari.

[modifica] La catena monoatomica

Il modello più semplice in cui compaiono i fononi è la catena monoatomica. Notiamo che l'equazione in questa forma sia puramente classica. Consideriamo N masse m disposte linearmente, a distanza di riposo a, che interagiscano elasticamente con i loro primi vicini. Con una costante di richiamo elastica $\alpha\$ . La posizione della massa n-sima sarà:

$x_n=na+q_n\$

Detto $q_n\$ l'allontanamento dalla posizione di equilibrio della massa n-sima. Data la seconda legge della dinamica l'equazione del moto dell'n-esima massa (di coordinate $q n$ ) può essere scritta come

$m\frac {\partial^2 q_{n}}{\partial t^2} = \alpha \left [ \left ( q_{n+1} - q_n - a \right ) + \left ( q_{n-1} - q_n + a \right ) \right ]$

Definendo con $\omega_0^2=\frac {\alpha}m\$ si ha che:

$\frac {\partial^2 q_{n}}{\partial t^2} = \omega_0^2 \left [ q_{n+1} - 2 q_n + q_{n-1} \right ]$

Relazione di dispersione per un fonone in una catena monoatomica.

Queste sono N equazioni differenziali accoppiate e sono, in pratica, impossibili da risolvere non appena N è superiore a 3 o 4. È quindi necessario disaccoppiare le equazioni tramite un cambiamento di sistema di riferimento ovvero applicare una trasformazione alle variabili $q_n\$ in modo di passare nella rappresentazione dei modi normali. Facendo la sostituzione

$q_n = A e^{i(k_j a n + \omega_j t)}\$

Notare come $k_j\$ non sia una variabile continua, ma possa assumere solo valori discreti, per questo è stato il pedice j, che va da 1 a N, ed è chiamato indice dei modi normali. Infatti dalla condizione di onda stazionaria segue che:

$k_j = \frac{2 \pi}{Na} j\$

Quindi le N $k_j\$ sono le nuove variabili, che sostituiscono le N $q_n\$ variabili. Con questa sostituzione di variabili si ha che il sistema di equazioni viene diagonalizzato e si ottiene che, per ogni modo normale j vale la seguente relazione di dispersione (relazione tra $\omega\$ e $k\$ ):

$\omega_j^2 = 4 \omega_0^2 \sin^2 \left ( \frac{a k_j}{2} \right )$

Notare che esista una pulsazione massima di oscillazione delle vibrazioni pari a $\omega_0\$ . Inoltre per $j\ll N\$ quindi per lunghezze d'onda ( $\lambda_j=2\pi/k_j\$ ) molto minori della dimensione della catena di atomi ( $Na\$ ) la relazione di dispersione sia lineare:

$\omega_j\approx \omega_0 a k_j=v_s k_j\$

con $v_s=\omega_o a\$ , costante di proporzionalità tra $k_j\$ ed $\omega_j\$ , che viene comunente chiamata velocità del suono.

[modifica] La catena diatomica

Immaginiamo di avere una catena di 2N atomi di massa $m_1\$ ed $m_2\$ alternati regolarmente. Se definisco n un intero compreso tra 1 ed 2N. Avrò che gli atomi sono diposte nelle posizioni:

$x_n=na+q_n\$

Avendo definito $q_n\$ l'allontanamento dalla posizione di equilibrio della massa n-sima.

Quindi procedendo come nel caso monoatomico le leggi della dinamica per le due masse diventano:

$\frac {\partial^2 q_{n}}{\partial t^2} = \omega_1^2 \left [ q_{n+1/2} - 2 q_n + q_{n-1/2} \right ]\qquad n\ pari$

$\frac {\partial^2 q_{n+1/2}}{\partial t^2} = \omega_2^2 \left [ q_{n+1} - 2 q_{n+1/2} + q_{n} \right ]\qquad n\ dispari$

Avendo definito con $\omega_1^2=\frac {\alpha}{m_1}\$ e $\omega_2^2=\frac {\alpha}{m_2}\$ . Le equazioni rappresentano sinteticamente le 2N equazioni accoppiate che possono essere diagonalizzate facendo il cambiamento di variabile:

$q_n=Ae^{i(k_jna+\omega_j t)}\ \qquad n\ pari$

$q_n=Be^{i(k_jna+\omega_j t)}\ \qquad n\ dispari$

Disegni schematico della relazione di dispersione di un reticolo diatomico, sull'asse orizzontale vi è k mentre su quello verticale vi è ω

con $k_j\$ nuovo parametro definito dall'indice di modo j che assume i valori:

$k_j=\frac {2\pi}{2Na}j\qquad j\ pari$

$k_j=\frac {2\pi}{(2N-1)a}j\qquad j\ dispari$

Con semplici passaggi matematici si ha quindi:

$\omega_j^2=\omega_1^2+\omega_2^2\pm \sqrt{(\omega_1^2+\omega_2^2)^2-4\omega_1\omega_2 \sin^2 (k_ja/2)}$

$\frac {B}{A}=\frac {1-\omega_j^2/(2\omega_1^2)}{\cos (k_ja/2)}\$

Le due soluzioni possibili sono schematizzate nella figura a fianco ed indicate rispettivamente come banda acustica, simile a quella del reticolo monoatomico con $\omega\$ sempre infeiore ad $\omega_1\$ .