Operatore hamiltoniano

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Meccanica quantistica

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L'operatore hamiltoniano $\hat{H}$ è l'operatore associato all'energia totale di un sistema. Se l'energia totale (classica) è la somma di tutte le energie, cinetiche e potenziali (come spesso avviene in meccanica classica), allora l'operatore $\hat{H}$ è la somma di tutti gli operatori hamiltoniani relativi alle singole energie cinetiche e potenziali.

Nelle situazioni più semplici (per esempio il caso di una particella libera o quello di una particella carica vincolata da un potenziale) l'operatore Hamiltoniano si ottiene sostituendo opportunamente le variabili classiche presenti nell'Hamiltoniana classica con gli operatori quantistici, seguendo il tipico schema:

$x \to \hat x$ $\dot x = p_x \to i\frac{\partial}{\partial x}$ $\dot y = p_y \to i\frac{\partial}{\partial y}$ $\dot z = p_z \to i\frac{\partial}{\partial z}$

Prendendo, per esempio, l'energia cinetica nel limite non relativistico, classicamente essa ha la forma:

$E_c = \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}$

Passando agli operatori, secondo il procedimento sopra indicato, si avrà:

$\hat E_c = -\frac{\nabla^2}{2m}$

dove l'operatore nabla $\nabla^2$ è l'operatore di derivazione

$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$

In modo analogo possiamo costruire l'operatore associato all'energia potenziale per ottenere infine l'operatore Hamiltoniano completo che risulterà essere nella forma

$\hat{H} = \hat{E}_p + \hat{E}_c$

Sorge subito un problema. Se occorre descrivere un sistema composto da più sotto-sistemi, generalmente non è possibile considerare i sotto-sistemi come indipendenti l'uno dall'altro: l'enegia cinetica totale è la somma delle singole energie cinetiche, ma nell'energia potenziale rientrano termini di mutua interazione.

Se $\hat{H}$ fosse separabile, allora l'operatore hamiltoniano totale sarebbe la somma aritmetica degli operatori hamiltoniani di ciascun sottosistema. Di conseguenza la funzione d'onda totale del sistema sarebbe la produttoria di tutte le funzioni d'onda, e l'energia totale (autovalore dell'operatore hamiltoniano) la sommatoria delle energie. In prima approssimazione è possibile considerare un hamiltoniano composto da parti indipendenti e perciò separabili, ma questo nella realtà non avviene, poiché nella stragrande maggioranza dei casi i termini di interazione hanno una fondamentale importanza. D'altra parte è possibile condurre una trattazione approssimata, detta teoria perturbativa.

L'obiettivo è quello di arrivare a questo:

$\hat{H} = \sum_i^n \hat{h}_i$ ovvero una somma di termini completamente indipendenti.

Nello specifico, in un sistema composto da nuclei e da elettroni che orbitano intorno ad essi, la massa dei nuclei è molto maggiore rispetto alla massa degli elettroni e, per questo motivo, a parità di quantità di moto, hanno una velocità pressoché nulla rispetto agli elettroni, e per questo si possono considerare fermi.

Stabilendo convenzionalmente: