Quantizzazione del momento angolare

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Meccanica quantistica

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La quantizzazione del momento angolare rappresenta uno dei risultati fondamentali della meccanica quantistica e ha una enorme portata nella trattazione dei principali problemi di fisica delle particelle, oltre che condurre alla predizione dell'esistenza dello spin.

Indice

1 Definizione del momento angolare
2 Algebra degli operatori di momento angolare
3 Soluzione dell'equazione agli autovalori: via algebrica

[modifica] Definizione del momento angolare

In meccanica quantistica il momento angolare è un' osservabile, quindi è rappresentato da un operatore hermitiano che chiamiamo $\vec L$ .

In meccanica classica la definizione di momento angolare è la seguente:

$\vec L = \vec q \wedge \vec p$

dove $\vec q$ e $\vec p$ sono rispettivamente il vettore posizione e impulso. Attraverso il principio di corrispondenza è possibile definire il momento angolare in meccanica quantistica come:

$\vec L = \vec q \wedge (-i \hbar \vec \nabla)$

da cui si possono esplicitare le componenti nel modo seguente:

$L_x = -i \hbar \left(y \frac {\partial} {\partial z} - z \frac {\partial} {\partial y}\right)$

$L_y = -i \hbar \left(z \frac {\partial} {\partial x} - x \frac {\partial} {\partial z}\right)$

$L_z = -i \hbar \left(x \frac {\partial} {\partial y} - y \frac {\partial} {\partial x}\right)$

Osserviamo immediatamente che $L_x , L_y , L_z \,\!$ sono operatori hermitiani, infatti sono combinazioni lineari di operatori hermitiani tra loro commutanti (N.B. posizione e impulso riferiti a coordinate diverse, ad esempio $y \,\!$ e $p_x \,\!$ , commutano!).

[modifica] Algebra degli operatori di momento angolare

1.In generale vale la relazione

$[ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k$

dove $\varepsilon_{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita. Dimostriamo tale relazione nel seguente caso particolare:

$[ L_x , L_y ] = [(y p_z - z p_y) , (z p_x - x p_z)]\,\! =$

$= [y p_z , z p_x] - [y p_z , x p_z] - [z p_y , z p_x] + [z p_y , x p_z]\,\! =$

$= [y p_z , z p_x] + [z p_y , x p_z]\,\! =$

$= y p_x [p_z , z] + p_y x [z , p_z] \,\! =$

$= -i \hbar y p_x + i \hbar p_y x =$

$= i \hbar (x p_y - y p_x) = i \hbar L_z$

2.Vale inoltre:

$[ L^2, L_i ] \,\! = 0$

dove l'indice i può essere x, y oppure z. Dimostriamo il caso particolare

$[L^2,L_z] \,\! = 0$

infatti:

$[ {L_x}^2 + {L_y}^2 + {L_z}^2, L_z ] = [ {L_x}^2 + {L_y}^2 , L_z ] =\,\!$

$[{L_x}^2 , L_z]+[{L_y}^2,L_z]={L_x}^2L_z - L_z{L_x}^2 + {L_y}^2L_z - L_z{L_y}^2 =\,\!$

Sommiamo e sottraiamo : $L x L z L x$ e $L y L z L y$

${L_x}^2L_z - L_xL_zL_x + L_xL_zL_x + {L_y}^2L_z - L_z{L_x}^2 - L_yL_zL_y + L_yL_zL_y - L_z{L_y}^2 = \,\!$

$L_x(L_xL_z - L_zL_x)+ (L_xL_z - L_zL_x)L_x + L_y(L_yL_z - L_zL_y) + (L_yL_z - L_zL_y)L_y =\,\!$

$L_x[L_x , L_z] + [L_x , L_z]L_x + L_y[L_y , L_z] + [L_y , L_z]L_y =\,\!$

$L_x(-i \hbar L_y) + (-i \hbar L_y)L_x + L_y(i \hbar L_x) + (i \hbar L_x)L_y = 0 \,\!$

Da 1. si conclude che l'algebra delle componenti del momento angolare è non commutativa.

Da 2. si conclude che gli operatori $L^2 \,\!$ e $L_z \,\!$ diagonalizzano nello stesso sistema ortonormale completo di stati.

[modifica] Soluzione dell'equazione agli autovalori: via algebrica

Per affrontare il problema dell'equazione agli autovalori è conveniente utilizzare la notazione bra-ket creata da Dirac. Si cercano dunque gli autoket simultanei degli operatori $L^2 \,\!$ e $L_z \,\!$ .

$L^2|\lambda m\rangle = \lambda \hbar^2 |\lambda m\rangle$

$L_z|\lambda m\rangle = m \hbar |\lambda m\rangle$

[modifica] Operatori scala

Si introducono a questo punto dei nuovi operatori, detti operatori scala:

$L_+ = L_x +iL_y \qquad L_- = L_x - iL_y$

$L^2 \,\!$ commuta sia con $L_x\,\!$ che con $L_y\,\!$ e quindi commuta anche con $L_\pm$ ;
Se $|\lambda m\rangle$ è un autovettore di $L^2\,\!$ appartenente all'autovalore $\lambda \hbar^2$ , $L_+|\lambda m\rangle$ e $L_-|\lambda m\rangle$ sono autovettori appartenenti allo stesso autovalore $\lambda \hbar^2$ :

$L^2L_+|\lambda m\rangle = \lambda \hbar^2 L_+|\lambda m\rangle$

$L^2L_-|\lambda m\rangle = \lambda \hbar^2 L_-|\lambda m\rangle$

$L_+|\lambda m\rangle$ è anche autovettore di $L_z\,\!$ ma appartenente all'autovalore $(m+1)\hbar$ , così come $L_-|\lambda m\rangle$ appartiene all'autovalore $(m-1)\hbar$ :

$L_zL_+|\lambda m\rangle = (m+1) \hbar L_+|\lambda m\rangle$

$L_zL_-|\lambda m\rangle = (m-1) \hbar L_-|\lambda m\rangle$

[modifica] Calcolo degli autovalori

$L^2|\lambda m\rangle = \lambda \hbar^2 |\lambda m\rangle$ e ${L_z}^2|\lambda m\rangle = m^2 \hbar^2 |\lambda m\rangle$

$(L^2 - {L_z}^2)|\lambda m\rangle = (\lambda - m^2)\hbar^2 |\lambda m\rangle$

$({L_x}^2 + {L_y}^2)|\lambda m\rangle = (\lambda - m^2)\hbar^2 |\lambda m\rangle$

$\frac{1}{2}(L_+L_- + L_-L_+)|\lambda m\rangle = (\lambda - m^2)\hbar^2 |\lambda m\rangle$

$\frac{1}{2}\langle \lambda m| (L_+L_- + L_-L_+)|\lambda m\rangle = (\lambda - m^2)\hbar^2$

Da cui segue che:

$-\sqrt{\lambda} < m < \sqrt{\lambda}$

cioè m è limitato sia inferiormente che superiormente.

Con l'uso degli operatori a scala è facile trovare i valori massimo e minimo di m, risolvendo:

$L_- L_+|\lambda m_{max} \rangle = 0$

$L_+ L_- |\lambda m_{min} \rangle = 0$

Si ottengono così le relazioni fondamentali

$m_{max} = - m_{min} = \frac{n}{2} = j$

$\lambda = j\big(j+1)$

dove n è un intero qualsiasi e dunque j può assumere qualsiasi valore intero o semintero.

[modifica] Conclusioni

Le equazioni agli autovalori sono così risolte

$L^2|j m\rangle = j (j + 1) \hbar^2 |j m\rangle$

$L_z|j m\rangle = m \hbar |j m\rangle$

e si è ottenuto il risultato fondamentale della quantizzazione del momento angolare. Inoltre si è scoperto che la teoria quantistica ammette valori del momento angolare (m) seminteri: lo spin.

Categoria: Meccanica quantistica

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