Coefficienti di Clebsch-Gordan

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Funzione d'onda
Operatore hamiltoniano
Equazione di Schrödinger
Momento angolare totale
Momento angolare orbitale
Autofunzioni del momento angolare
Spin e Composizione di momenti angolari

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I coefficienti di Clebsch-Gordan in meccanica quantistica come in fisica atomica e fisica della materia condensata sono utilizzati per passare da una base all'altra nella composizione di momenti angolari.

Per approfondire, vedi la voce Composizione di momenti angolari.

Per quanto visto nella composizione dei momenti angolari che può riguardare sia la composizione di due o più momenti angolari orbitali che la composizione di due momenti angolari di spin o ancora l'accoppiamento tra il momento angolare orbitale e quello di spin, abbiamo identificato due basi:

La prima base nella quale sono diagonali $\vec J_{1}^{2} , \vec J_{2}^{2}, J_{1 z} , J_{2 z}$ cioè nella base in cui questi operatori commutano, che si identificano con i vettori di base:

(1) $|j_1, j_2, j_{1z}, j_{2z} \rangle$

e per la quale valgono le equazioni agli autovalori:

$\vec J_{1}^{2} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_1 (j_1 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle$

$J_{1z} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_{1z} \hbar |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle$

$\vec J_{2}^{2} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_2 (j_2 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle$

$J_{2z} |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle = j_{2z} \hbar |j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle$

La seconda base nella quale sono diagonali $\vec J^2, J_{z} ,\vec J_{1}^{2} , \vec J_{2}^{2}$ cioè nella base in cui questi operatori commutano, che si identificano con i vettori di base:

(2) $|j_1 , j_2 , J , M \rangle$

Valgono le equazioni agli autovalori:

$\vec J_{1}^{2} |j_1 , j_2 , J, M \rangle = j_1 (j_1 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , J, M \rangle$

$\vec J_{2}^{2} |j_1 , j_2 , J ,M \rangle = j_2 (j_2 + 1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , J , M \rangle$

$\vec J^2 |j_1 , j_2 , J , M \rangle = j (j+1) \hbar^2 |j_1 , j_2 , J , M \rangle$

$J_{z} |j_1 , j_2 , J , M \rangle = j_{z} \hbar |j_1 , j_2 , J , M \rangle$

dove $J = j 1 + j 2$ è l'autovalore di $\vec J^2$ ed $M = j 1 z + j 2 z$ è l'autovalore di $J z$ . Il passaggio da una base all'altra è determinato dai coefficienti di Clebsh-Gordan.

Gli stati (1) e (2) sono messi in relazione da una trasformazione unitaria:

(3) $|j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} \rangle = \sum_{J,M} \langle j_1 , j_2 , J , M | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle | j_1 , j_2 , J , M \rangle$

dove i coefficienti

$\langle j_1 , j_2 , J , M | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle$

sono appunto i coefficienti di Clebsh-Gordan. Viceversa la trasformazione inversa:

(4) $|j_1 , j_2 , J , M \rangle = \sum_{j_{1z}, j_{2z}} \langle j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} | j_1 , j_2 , J , M \rangle | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle$

definisce i coefficienti di Clebsh-Gordan complessi coniugati dei precedenti:

$\langle j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} | j_1 , j_2 , J , M \rangle^* = \langle j_1 , j_2 , J , M | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle$

[modifica] Convenzione di Condon-Shortley

Per determinare i coefficienti di Clebsh-Gordan bisogna tenere conto della fase degli stati. Siccome tale fase non è univoca si tiene conto di essa utilizzando la convenzione di Condon-Shortley secondo la quale gli stati massimi delle due basi devono avere coefficiente 1, che fissa il fattore di fase globale tra le due basi. Poi tutti gli elementi delle matrici che rappresentano gli operatori $J 1 -, J 2 -, J -$ sono presi reali e semidefiniti positivi che fissano i fattori di fase relativi agli stessi stati degeneri, infine gli elementi di matrice $\langle j_1 , j_2 , J, M |J_{1z}|j_1, j_2 , J \pm 1, M \rangle$ sono presi reali e semidefiniti positivi: queste tre condizioni fissano univocamente tutte le fasi relative del sistema, in tal modo tutti i coefficienti sono reali.

[modifica] Primi coefficienti

Dalle proprietà fondamentali della composizione di momenti angolari si evince che tutti i coefficienti di Clebsh-Gordan sono nulli a meno che non verifichino:

(5) $M = j_{1z} + j_{2z} \, \, \, \, \, \, \, \, |j_1 - j_2 | \le j \le j_1 + j_2$

Inoltre la condizione che siano ortogonali unita alla condizione di realtà ci dice che:

(6) $\sum_{j_{1z}, j_{2z}} \langle j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} | j_1, j_2 , J' , M' \rangle \langle j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} | j_1 , j_2 , J, M \rangle = \delta_{JJ'} \delta_{MM'}$

cioè la condizione di unitarietà della trasformazione. Inoltre la condizione di normalizzazione degli stati:

(7) $\sum_{j_{1z}, j_{2z}} \left |\langle j_1, j_2 , j_{1z} , j_{2z} | j_1 , j_2 , j_{1z}, j_{2z} \rangle \right|^2 = 1$

Il metodo è sempre quello di utilizzare gli operatori di scala, come nella composizione dei moemnti angolari si vede che il valore massimo dei due momenti è:

J = j 1 + j 2

infatti il valore massimo di $J$ è quello in cui $j 1$ assume il valore della proiezione del momento angolare $j 1 z$ e analogamente per $j 2$ che assume $j 2 z$ , rappresentano uno stato determinato da:

$|j_1 , j_2 , j_1, j_2 \rangle$

nella seconda base è determinato dallo stato:

(8) $|j_1 , j_2 , J = j_1 + j_2 , M = j_{1z} + j_{2z} = j_1 + j_2 \rangle$

dove in accordo con la convenzione si è preso il fattore di fase uguale a 1. Scalando il valore di $M$ di 1, cioè $M = j 1 z + j 2 z - 1$ si corrispondono due stati infatti applicando l'operatore di scala $J - = J 1 - + J 2 -$ allo stato (8) si hanno due stati dati da:

| j 1, j 2, J = j 1 + j 2, M = j 1 + j 2 - 1

| j 1, j 2, J = j 1 + j 2 - 1, M = j 1 + j 2

cioè:

(9) $|j_1 , j_2 , J = j_1 + j_2 , M = j_1 + j_2 - 1 \rangle = \sqrt{\frac{j_1}{j_1 + j_2}} |j_1 , j_2 = j_1 - 1, j_2, j_2 \rangle + \sqrt{\frac{j_2}{j_1 + j_2}} |j_1 , j_1 , j_2 , j_2 - 1 \rangle$

[modifica] Bibliografia

M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) (capitolo 27, p. 1006)
L. D. Landau e E. M. Lifsits Fisica Teorica: Vol. 3 Meccanica Quantistica (Editori Riuniti, Roma, 1978)
J.J Sakuray - Meccanica quantistica moderna
(EN) A. Messiah Quantum Mechanics (Dover, 2004) / (FR) Mécanique Quantique t. II (Dunod, 1960)
(EN) E. U. Condon e G. H. Shortley The theory of atomic spectra (Cambridge University Press, 1959)
(EN) W. Miller Jr. Symmetry Groups and Their Applications (Academic Press, New York, 1972) (capitolo 3, p. 81 e capitolo 7)