Funzione d'onda

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Meccanica quantistica

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Fisica
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Nella meccanica quantistica, la funzione d'onda rappresenta uno stato fisico del sistema quantistico. Essa è la soluzione dell'equazione di Schrödinger.

Lo stato di un sistema quantistico è descritto completamente dalla funzione d'onda: essa è in generale una funzione complessa delle coordinate spaziali e del tempo. Il suo significato è quello di ampiezza di probabilità e il suo modulo quadro rappresenta una probabilità. Si può dimostrare però che la densità di probabilità della funzione d'onda al tempo $t$ è pari a quella al tempo $t_0 \rightarrow t=0$ . Per questo esiste un operatore $\hat{U}$ , chiamato operatore di evoluzione temporale, tale che si può passare da una funzione d'onda al tempo $t 0$ ad una al tempo $t$ . Questo operatore deve essere unitario, infatti non deve alterare la norma della funzione d'onda. Questo vuol dire che la funzione d'onda ruota e trasla nello spazio, ma il suo modulo non varia.

Indice

1 Spazio di Hilbert e funzione d'onda
- 1.1 Interpretazione della funzione d'onda
2 Funzione d'onda e pacchetto d'onda
3 Operatori e autofunzioni
4 Valore medio di un operatore
- 4.1 Caso continuo
- 4.2 Operatori posizione e impulso
5 Altre considerazioni
6 Voci correlate

[modifica] Spazio di Hilbert e funzione d'onda

Poiché la funzione d'onda è una funzione complessa deve essere definita in uno spazio complesso. Inoltre è chiaro che deve valere in qualche modo il principio di sovrapposizione. Se $ψ 1$ e $ψ 2$ sono due funzioni d'onda che rappresentano stati possibili del sistema allora:

c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2

dove $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$ , deve rappresentare anche uno stato possibile del sistema. Il principio di sovrapposizione porta a definire la funzione d'onda in uno spazio vettoriale complesso. Quindi devono valere le due regole:

ψ 1 + ψ 2 = ψ 2 + ψ 1

c (ψ 1 + ψ 2) = c ψ 1 + c ψ 2

cioè la linearità rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per una costante. In meccanica quantistica si postula che lo stato:

c ψ

rappresenti lo stesso stato di $ψ$ , cioè le funzioni d'onda sono definite a meno di un fattore di fase che risulta ininfluente e viene spesso sottinteso. È invece importante solo il suo modulo quadro e questo implica che le funzioni d'onda devono essere funzioni a quadrato sommabile cioè deve valere sempre:

$\int |\psi (q,t)|^2 dq < \infty$

questo ci porta a definire che le funzioni d'onda devono essere definite in uno spazio di Hilbert complesso.

[modifica] Interpretazione della funzione d'onda

In meccanica quantistica si associa ad ogni stato una funzione complessa detta funzione d'onda dipendente dalle coordinate e dal tempo:

ψ(q, t)

dove con q si indicano in generale tutte le variabili spaziali. Essa rappresenta un'ampiezza di probabilità, nel senso che la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo $(q, q + d q)$ è:

d P = | ψ(q, t) | 2 d q

e questo spiega perché le funzioni d'onda devono essere a quadrato sommabile. Perché la funzione d'onda rappresenti una probabilità deve essere normalizzata ad uno:

$\|\psi\| = \int_{-\infty}^{\infty} |\psi (q,t)|^2 dq = 1$

[modifica] Funzione d'onda e pacchetto d'onda

Dalla ipotesi di de Broglie abbiamo visto che ad una particella si può associare un pacchetto d'onda: il più generale pacchetto d'onda del tipo:

$\psi (x, t) = C \int_{-\infty}^{\infty} dp \, \phi (p, t) e^{i (p x - \omega t) / \hbar}$

rappresenta una funzione d'onda cioè una soluzione dell'equazione di Schrödinger con la sua propria evoluzione nel tempo, immediatamente generalizzabile al caso tridimensionale. Siccome $p = \hbar k$ si può scrivere anche:

$\psi (x, t) = C \int_{-\infty}^{\infty} dk \, A (k, t) e^{i \hbar (k x - \omega t)}$

dove C è una costante che serve per la normalizzazione.

Cerchiamo ora il significato della funzione $φ(p, t)$ o $A (k, t)$ considerate entro la definizione della funzione d'onda. Prendiamo per esempio la funzione d'onda unidimensionale per semplicità, al tempo $t = 0$ opportunamente normalizzata:

$\psi (x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i p x / \hbar} = \sqrt{\frac{\hbar}{2 \pi}} \int dk \, \phi(\hbar k) e^{i k x}$

eseguendo una trasformata di Fourier otteniamo:

$A (\hbar, k) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx \, \psi(x) e^{- i k x}$

oppure:

$\phi (p) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx \, \psi(x) e^{- i p x / \hbar}$

Ebbene se la funzione d'onda $ψ(x)$ è normalizzata anche:

$\int dp \, \phi(p) \phi^* (p) = 1$

come si può calcolare facilmente. Quindi anche $φ(p)$ o $\phi(\hbar k)$ è una funzione d'onda nello spazio degli impulsi, il suo modulo quadro $| φ(p) | 2 d p$ rappresenta la probabilità che la particella abbia impulso compreso tra $p, p + d p$ . Esiste cioè una certa simmetria tra lo spazio delle posizioni e la funzione d'onda $ψ(x, t)$ e lo spazio degli impulsi con funzione d'onda $φ(p, t)$ .

[modifica] Operatori e autofunzioni

Ogni grandezza fisica in meccanica quantistica che può essere misurata o osservata si chiama osservabile ed è rappresentata da un operatore. Un operatore agisce sulla funzione d'onda con il risultato di ottenere in generale un'altra funzione d'onda, cioè l'applicazione di un operatore muta lo stato:

$\hat A \Psi = \Phi$

dova $\hat A$ è l'operatore. I valori che una grandezza fisica può assumere in generale possono essere discreti o continui o sia discreti che continui. Si postula che i valori che un operatore può assumere sia tutti e soli i suoi autovalori. Questo implica che una funzione d'onda deve contenere anche l'informazione degli autovalori di una osservabile. Cioè deve essere esprimibile come sovrapposizione di (in generale) infiniti stati dedotti da un operatore e che contengono informazioni sui valori che l'operatore stesso può assumere. Cioè dato un operatore $\hat A$ dobbiamo essere in grado di trovare i suoi autovalori e di conseguenza anche gli stati che ogni autovalore rappresenta. Per fare ciò si deve risolvere l'equazione agli autovalori:

$\hat A \psi_a = a \psi_a$

dove $a$ è l'autovalore e $ψ a$ sono gli autovettori che rappresentano gli autostati o autofunzioni del sistema. Nel caso di autovalori discreti $\{a_1, a_2, \dots , \}$ possiamo classificare le autofunzioni corrispondenti come $\{\psi_{a_1}, \psi_{a_2}, \dots \}$ . In generale in meccanica quantistica le funzioni sono definite in uno spazio vettoriale complesso a infinite dimensioni detto spazio di Hilbert, per cui tutte le grandezze sono soggette ad assumere un numero di autovalori e quindi di autofunzioni infinito. In ogni caso lo spazio di Hilbert è completo e separabile che implica in meccanica quantistica che esiste sempre un insieme completo di autofunzioni. In tal caso ogni funzione d'onda che rappresenta il sistema può essere sviluppata in termini di autofunzioni di un qualche operatore nel caso discreto:

Ψ =	∑	c_nψ_a
	n

dove $c n$ sono dei coefficienti complessi. L'interpretazione della funzione d'onda implica che i moduli quadrati dei coefficienti $c n$ rappresenti una probabilità che la funzione di stato $Ψ$ si trovi nell'autostato $ψ a$ e queste probabilità devono essere normalizzate a 1:

$\sum_n |c_n|^2 = \sum_n c_{n}^{*} c_n = 1$

I coefficienti sono automaticamente determinati infatti dalla:

$\sum_n c_{n}^{*} c_n = \sum_n \psi_{n}^{*} \Psi$

moltiplicando per la sua complessa coniugata:

$\Psi^* = \sum_n c_{n}^{*} \psi_{n}^{*}$

si ottiene:

$\sum_n c_n c_{n}^{*} = \sum_n \Psi^{*} \Psi = \sum_n c_{n}^{*} \sum_n \psi_{n}^{*} \Psi$

dalla quale:

$c_n = \sum_n \Psi \psi_{n}^{*} = \sum_m c_m \psi_m \psi_{n}^{*} = c_m$

infatti

$\sum_m \psi_{m} \psi_{n}^{*} = \delta_{mn}$

devono essere normalizzate.

[modifica] Valore medio di un operatore

Data una grandezza fisica rappresentata da un operatore $\hat A$ , siamo in grado di risolvere l'equazione agli autovalori e determinare le autofunzioni corrispondenti. Inoltre grazie a questi possiamo sviluppare la funzione d'onda in termini di autofunzioni di questo operatore e normalizzarla in modo che rappresenti una probabilità. In pratica se misuriamo A dobbiamo poter alla fine ottenere uno dei suoi autovalori in base alla probabilità che esso ha di presentarsi. Allora la funzione d'onda che rappresenta lo stato fisico a seguito di una misura dell'osservabile sotto la quale è stata sviluppata, deve porsi istantaneamente nell'autostato di quella osservabile, questo fenomeno è noto come collasso della funzione d'onda ed è uno dei sorprendenti risultati della meccanica quantistica, tanto sorprendente quanto di difficile interpretazione. In ogni caso questo è uno dei postulati fondamentali della meccanica quantistica: a seguito di una misura la funzione d'onda collassa in un autostato di una qualche osservabile con una certa probabilità. L'unica eccezione avviene qualora la funzione d'onda si trovi già in un autostato di una qualche osservabile per cui una nuova misura produce lo stesso risultato con probabilità 1.

Possiamo calcolare anche il valore medio di un operatore inteso come il valore medio dell'operatore corrispondente. Infatti se $\hat A$ è un operatore e $\{a_1, a_2, \dots \}$ sono i suoi autovalori discreti allora:

$\bar A = \sum_n a_n |c_n|^2$

che come si vede non è altro che la somma di tutti i suoi autovalori pesati ognuno con la rispettiva probabilità di presentarsi. Gli operatori in meccanica quantistica sono lineari per soddisfare il principio di sovrapposizione degli stati e inoltre noi richiediamo per ovvi motivi che anche tutti gli autovalori di un operatore siano reali questo impone che anche il valore medio di un operatore sia reale: questo impone che solo gli operatori hermitiani siano suscettibili di rappresentare quantità osservabili in meccanica quantistica.

Per approfondire, vedi la voce Osservabile.

[modifica] Caso continuo

Tutte le considerazioni fatte fin qui nel caso di spettro discreto di autovalori di un operatore $\hat f$ valgono anche nel caso continuo. In tal caso ogni operatore che abbia spettro continuo può dare uno sviluppo della funzione d'onda:

$\Psi (q) = \int a(f) \psi_f (q) \, df$

dove $a (f)$ sono coefficienti che hanno lo stesso significato di $c n$ nel caso discreto e $ψ f (q)$ sono le autofunzioni dell'operatore $\hat f$ . Stavolta l'interpretazione dei coefficienti dello sviluppo è quello che

| a (f) | 2 d f

rappresenti la densità di probabilità che l'operatore abbia valore compreso tra f ed f+df. I coefficienti sono automaticamente determinati:

$a(f) = \int \Psi (q) \psi_{f}^{*} (q) \, dq$

una volta che le autofunzioni siano opportunamente normalizzate:

$\int \psi_f' \psi_{f}^{*} dq = \delta (f' - f)$

dove interviene la funzione delta di Dirac, allora:

$a(f) = \int a_{f'} \delta (f' - f) \, df' = a(f)$

infatti $\int \delta (f'-f) df' = 1$ . Il valore medio dell'operatore si calcola:

$\bar f = \int \Psi^* (q) \hat f \Psi(q)$

[modifica] Operatori posizione e impulso

Alcuni esempi di operatori in meccanica quantistica che hanno uno spettro di autovalori continuo sono gli operatori di posizione e impulso. Esiste una simmetria tra lo spazio delle posizioni e lo spazio degli impulsi dove possiamo definire le nostre funzioni d'onda si può vedere attraverso il calcolo dei valori medi.

Nello spazio delle posizioni:

$\langle \hat x \rangle = \int dx \, \psi (x,t) \hat x \psi (x,t) = \int dx \, \hat x |\psi (x,t)|^2$

poiché l'operatore posizione nello spazio delle posizioni è un operatore banale $\hat x$ . Il calcolo del valore medio di $\hat p$ nello spazio delle posizioni è invece:

$\langle \hat p_x \rangle = \int dx \, \psi^* (x,t) \left(- i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \psi(x,t)$

Ora mettiamoci nello spazio degli impulsi e calcoliamo il valore medio di $\hat p$ :

$\langle \hat p_x \rangle = \int dp \, \phi (p,t) \hat p \phi (p,t) = \int dp \, \hat p |\phi (p,t)|^2$

cioè è un operatore banale, mentre il valore medio di $\hat x$ :

$\langle \hat x \rangle = \int dp \phi^* (p,t) \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \right) \phi (p,t)$

[modifica] Altre considerazioni

Come nel caso di qualsiasi funzione matematica, la derivata seconda della funzione d'onda ψ, definita ad esempio lungo l'asse x come $\frac {d\psi ^2}{dx^2}$ , esprime il grado di curvatura. Ad un grande grado di curvatura corrisponde elevata energia cinetica, ciò si accorda anche con la relazione di de Broglie in quanto una funzione d'onda molto curva è caratterizzata da una piccola lunghezza d'onda.

In chimica quantistica risulta utile esprimere la funzione d'onda dell'elettrone, le cui soluzioni fisicamente accettabili costituiscono gli orbitali, in termini di coordinate polari r, θ e φ. In tal modo è possibile definire la funzione d'onda come una funzione composta ottenuta dal prodotto di altre due differenti funzioni:

ψ n, l, m = R n, l (r) Y l, m (θ,φ)

dove R è la funzione d'onda radiale e Y la funzione d'onda angolare; n, l, m sono le terne di numeri quantici che definiscono le soluzioni fisicamente accettabili dell'equazione di Schrödinger.

Max Born mise in correlazione il concetto di funzione d'onda con la probabilità di rinvenire una particella in un punto qualsiasiasi dello spazio: risulta possibile determinare la probabilità con la quale un elettrone possa essere rinvenuto all'interno di un volume elementare dτ in un determinato punto effettuando il prodotto ψ²dτ. Nel caso di funzione d'onda complessa la probabilità è proporzionale al prodotto (ψ*)(ψ), dove ψ* è la funzione coniugata complessa. Affinché ciò sia possibile è necessario che la funzione d'onda sia normalizzata, cioè deve essere verificata la condizione che afferma che l'elettrone è presente da qualche parte nell'universo. In termini matematici, deve verificarsi:

$\int \psi ^2d\tau = 1$