Operatore impulso

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La comprensione ottimale dell'argomento trattato in questa voce presuppone la conoscenza dei seguenti concetti:

L'operatore impulso in meccanica quantistica è un operatore con spettro continuo di autovalori.

Consideriamo l'operatore di traslazione spaziale infinitesimo in una dimensionale $T (d x')$ che agisce sullo stato generico $|\alpha \rangle$ :

$\begin{align} T(dx') |\alpha \rangle &= \left(1 - \frac{i}{\hbar} p dx' \right) |\alpha \rangle \\ &= \int dx' \, T(dx') |x' \rangle \langle x' |\alpha \rangle \\ &= \int dx' \, |x' + dx' \rangle \langle x' |\alpha \rangle \\ &= \int dx' \, |x' \rangle \langle x' - dx' |\alpha \rangle \\ &= \int dx' \, |x' \rangle \left(\langle x' |\alpha \rangle - dx' \frac{\partial}{\partial x'} \langle x' |\alpha \rangle \right) \end{align}$

che implica:

(1) $p |\alpha \rangle = \int dx' \, |x' \rangle \left(- i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x' |\alpha \rangle \right)$

oppure anche:

(2) $\langle x' |p |\alpha \rangle = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x' |\alpha \rangle$

e queste sono le rappresentazioni dell'operatore impulso nella rappresentazione delle coordinate. Gli elementi di matrice dell'operatore impulso in termini di vettori d'onda $|\alpha \rangle$ e $|\beta \rangle$ o di funzioni d'onda:

(3) $\langle \beta |p |\alpha \rangle = \int dx' \, \langle \beta |x' \rangle \left(-i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \right) \langle x' |\alpha \rangle = \int dx' \, \psi_{\beta}^{*}(x') \left(-i\hbar \frac{\partial}{\partial x'} \right) \psi_{\alpha} (x')$

Nella rappresentazione delle coordinate l'operatore impulso in una dimensione si scrive:

(4) $p_x = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$

e nel caso tridimensionale:

(5) $\vec p = - i \hbar \vec \nabla$

Indice

1 Equazione agli autovalori per l'operatore impulso
2 Normalizzazione degli autostati dell'impulso
3 Funzioni d'onda nello spazio degli impulsi
- 3.1 Operatore posizione nello spazio degli impulsi
4 Caso tridimensionale
5 Bibliografia
6 Voci correlate

[modifica] Equazione agli autovalori per l'operatore impulso

L'equazione agli autovalori dell'operatore impulso nella rappresentazione delle coordinate è:

(6) $\hat p|p' \rangle = p' |p' \rangle$

dove al solito $\hat p$ è l'operatore impulso, $-\infty \le p' \le \infty$ è l'autovalore che può prendere valori continui e $|p' \rangle$ è l'autovettore associato. Le autofunzioni dell'operatore impulso sono date dalla (2) considerando al posto di $|\alpha \rangle$ , l'autovettore $|p' \rangle$ :

(7) $\langle x' |p |p' \rangle = p' \langle x' |p' \rangle = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \langle x' |p' \rangle$

che si può scrivere in termini di funzioni d'onda come:

$\langle x' |p |p' \rangle = p' \phi_{p'} (x') = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x'} \phi_{p'} (x')$

La soluzione di questa equazione differenziale fornisce l'autofunzione dell'impulso che si può scrivere:

(8) $\psi_{p'} (x') = \langle x'| p' \rangle = C e^{\frac{i}{\hbar} p' x'}$

dove C è una costante di normalizzazione. In accordo con l'interpretazione della funzione d'onda come ampiezza di probabilità, il significato fisico della (8) è quello che la probabilità di trovare una particella con un valore determinato dell'impulso $p'$ nella regione compresa tra $x'$ e $x' + d x'$ è uguale:

(9)

P (x', x' + d x') = | ψ p' (x') | d x = | N | 2 d x

purché la probabilità totale sia normalizzata a uno.

[modifica] Normalizzazione degli autostati dell'impulso

Per quanto riguarda la normalizzazione degli autostati $|p' \rangle$ dell'impulso bisogna risolvere:

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{p'}^{*} (x') p \psi_{p'} dp' = 1$

cioè:

$|N|^2 \int dp' \, e^{\frac{i}{\hbar} p' (x' - x'')} = 2 \pi \hbar |N|^2 \delta (x'- x'')$

da cui:

$N = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}$

quindi le autofunzioni normalizzate dell'impulso:

$\psi_{p'} (x') = \langle x'| p' \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i}{\hbar} p' x'}$

dove appare la funzione delta di Dirac analoga al caso dell'operatore posizione. Con l'introduzione della funzione delta di dirac gli autostati dell'impulso sono normalizzati semplicemente:

$\langle p'' |p' \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \phi_{p''}^{*} (x') \phi_{p'}(x') dx' = \delta (p'' - p')$

[modifica] Funzioni d'onda nello spazio degli impulsi

Consideriamo lo sviluppo di un generico vettore di stato $|\alpha \rangle$ in autostati dell'impulso:

$|\alpha \rangle = \int dp' \, |p' \rangle \langle p' |\alpha \rangle$

dove i coefficienti

$\langle p' |\alpha \rangle = \phi_{\alpha} (p')$

è chiamata funzione d'onda nella rappresentazione degli impulsi. Le rappresentazioni delle coordinate e dell'impulso sono legate dalla trasformata di Fourier. Il significato fisico della funzione d'onda nella rappresentazione degli impulsi è quella di ampiezza di probabilità in modo tale che:

$P(p', p'+dp') = |\langle p' |\alpha \rangle|^2 dp' = |\phi_{\alpha} (p')|^2 dp'$

rappresenti la probabilità che la particella abbia impulso compreso nell'intervallo $d p'$ , se tale probabilità è correttamente normalizzata:

$\langle \alpha |\alpha \rangle = \int dp' \, \langle \alpha |p' \rangle \langle p' |\alpha \rangle = \int dp' \, |\langle p' |\alpha \rangle|^2 = \int dp' \, |\phi_{\alpha}(p')|^2 = 1$

La funzione d'onda unidimensionale rappresentativa dello stato $|\alpha \rangle$ nello spazio degli impulsi è la trasformata di fourier della funzione d'onda $ψ(x)$ :

$\langle p' |\alpha \rangle = \phi_{\alpha} (p') = \int dx' \langle p' |x' \rangle \langle x' |\alpha \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx' \, e^{-i p' x' /\hbar} \psi_{\alpha} (p')$

[modifica] Operatore posizione nello spazio degli impulsi

Analogamente allo spazio delle posizioni quando rappresentiamo la funzione d'onda nello spazio delle posizioni possiamo descrivere completamente tutte le grandezze fisiche del sistema in tale spazio, anche nello spazio degli impulsi possiamo descrivere tutte le grandezze fisiche. Il valore medio dell'operatore impulso (in una dimensione per semplicità) si può trovare nell'insieme delle autofunzioni dell'operatore impulso:

$\langle p \rangle = \int dp \, \phi^* (p,t) p \phi (p,t)$

Cerchiamo il valore medio dell'operatore posizione nello spazio delle coordinate, utilizzando la relazione

$\langle x \rangle = \int dx' \, \psi^*(x',t) x \psi (x',t)$

Per approfondire, vedi la voce Operatore posizione.

Sostituamo a $ψ(x', t)$ la sua espressione esplicita:

$\psi(x') = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int d p' e^{i p' \cdot x' / \hbar} \phi (p')$

quindi

$\langle x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx' \, \int dp' \phi^* (p',t) i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \phi(p',t)$

cioè:

$\langle \beta |x |\alpha \rangle = \int dx' \langle \beta |p' \rangle \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \langle p' |\alpha \rangle \right) = \int dp' \, \phi_{\beta}^{*} (p') i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \phi_{\alpha}(p')$

proiettando su un autostato dell'impulso:

$\langle p' |p |\alpha = i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \langle p' |\alpha \rangle$

ossia:

$x = i \hbar \frac{\partial}{\partial p}$

nel caso unidimensionale e

$\vec x = i \hbar \vec \nabla_p$

nel caso tridimensionale. In generale qualsiasi funzione della posizione nello spazio degli impulsi ha valore medio calcolabile come:

$\langle f(x) \rangle = \int dp' \, \phi^* (p',t) f \left(i \hbar \frac{\partial}{\partial p'} \right) \phi(p',t)$

[modifica] Caso tridimensionale

Il caso tridimensionale è un'estensione dei concetti visti sopra. l'equazione agli autovalori per l'operatore impulso nella rappresentazione dell'impulsi:

$\vec p |\vec p' \rangle = p' |\vec p' \rangle$