Zvezna funkcija
Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.
[uredi] Matematična definicija
Zveznost nas ponavadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke a definiramo s takoimenovano epsilon-delta definicijo, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:
Funkcija f je v točki a zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število ε obstaja pozitivno število δ, tako da velja:
(Razlaga: če se x za manj kot δ razlikuje od a, potem se f(x) za manj kot ε razlikuje od f(a).)
Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije: Funkcija je v točki a zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:
[uredi] Zgledi
Zgledi zveznih funkcij:
- Vsak polinom je povsod zvezna funkcija (vključno z linearno in kvadratno funkcijo). To pomeni, da se graf polinoma nikjer ne pretrga.
- Racionalna funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana. Opomba: Tu velja poseben poudarek na besedah "kjer je definirana". Racionalna funkcija ni definirana v polih, zato se graf v polih pretrga.
- Potenčna in korenska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
- Eksponentna in logaritemska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
- Trigonometrijske funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.
Za primer nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:
Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.