Konvergenčni polmer

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Konvergénčni polmér (tudi ~ pólmer) potenčne vrste je v matematiki nenegativna količina, realno število ali $\scriptstyle \infty,$ ki predstavlja območje (znotraj polmera) v katerem bo funkcija konvergirala.

Vsebina

1 Definicija
2 Iskanje konvergenčnega polmera
3 Jasen in preprost rezultat iz zamotanosti
- 3.1 Preprosti zgled
- 3.2 Bolj zapleten zgled
4 Konvergenca na »konvergenčni krožnici«
5 Razlaga stopnje konvergence
6 Grafični zgled
7 Konvergenčna abscisa Dirichletove vrste
8 Viri
9 Zunanje povezave

[uredi] Definicija

Za potenčno vrsto f, določeno kot:

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n \!\, ,$

je:

a konstanta, središče konvergenčnega diska,

c_n n-ti kompleksni koeficient in

z spremenljivka.

Konvergenčni polmer r (tudi označbi R ali $ρ$ je takšno nenegativno realno število ali $\scriptstyle \infty$ , da vrsta konvergira pri:

$|z-a| <r \!\,$

in divergira pri:

$|z-a| >r \!\, .$

Vrsta tako konvergira, če je z dovolj blizu središču in divergira, če je razdalja večja. Konvergenčni polmer določa kako blizu je dovolj blizu. Konvergenčni polmer neskončen, če vrsta konvergira za vsa kompleksna števila z.

[uredi] Iskanje konvergenčnega polmera

Konvergenčni polmer lahko določimo s pomočjo Cauchyjevega korenskega kriterija na člene vrste. Korenski test uporablja število:

$C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|f_n|} \!\,$

kjer je ƒ_n n-ti člen c_n(z − a)ⁿ (»lim sup« označuje limito supremum). Po korenskem kriteriju vrsta konvergira, če je |C| < 1 in divergira, če je |C| > 1. Tako potenčna vrsta konvergira, če je razdalja od z do središča a manjša kot:

$r = \frac{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|c_n|}} \!\,$

in divergira, če je razdalja večja. Pri tem je r = 1/0 mišljen kot neskončni polmer, kar pomeni, da je ƒ cela funkcija.

Limito v d'Alembertovem kvocientnem kriteriju je po navadi lažje izračunati, vendar ni nujno da obstaja, tako da je treba uporabiti Cauchyjev korenski kriterij. Pri d'Alembertovem kvocientnem kriteriju nastopa limita:

$L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{f_{n+1}}{f_n}\right| \!\, .$

V primeru potenčnih vrst lahko to uporabimo za določitev:

$r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| \!\, .$

[uredi] Jasen in preprost rezultat iz zamotanosti

Eden od najboljših zgledov jasnosti in preprostosti izhaja iz predstave o kompleksnih številih, kjer lahko predstava o realnih številih privede do zmede in o čemer govori naslednji izrek kompleksne analize:

Konvergenčni polmer je vedno enak razdalji od središča do najbližje točke, kjer ima funkcija f (neodpravljivo) singularnost. Če ne obstaja nobena takšna točka, je konvergenčni polmer neskončen.

Najbližja točka pomeni najbližjo točko v kompleksni ravnini in ne nujno na realni premici, tudi če so središče in vsi koeficienti realni. Zadnja izjava je stranski proizvod dokaza, da so holomorfne funkcije analitične.

[uredi] Preprosti zgled

Krožno funkcijo arkus tangens lahko izrazimo s potenčno vrsto, ki je dovolj znana:

$\operatorname{arc\, tg} \, (z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots \!\, .$

S pomočjo d'Alembertovega kvocientnega kriterija lahko preprosto ugotovimo, da je konvergenčni polmer enak 1. To lahko vidimo tudi iz:

$\frac{d}{dz} \operatorname{arc\, tg} \, (z)=\frac{1}{1+z^2} \!\,$

kjer je imenovalec enak nič pri z² = − 1, oziroma, ko je z = i ali − i. Središče te potenčne vrste leži v točki 0. Razdalja od 0 do obeh singularnih točk je enaka 1. Zato je to vrednost konvergenčnega polmera.

[uredi] Bolj zapleten zgled

Poglejmo potenčno vrsto:

$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} z^n \!\,$

kjer so racionalna števila B_n Bernoullijeva števila. Z d'Alembertovim kvocientnim kriterijem težko najdemo konvergenčni polmer te vrste. Po zgornjem izreku iz kompleksne analize lahko problem hitro rešimo. V točki z = 0 ni singularnosti, ker je odpravljiva. Edino neodpravljive singularnosti tako ležijo v drugih točkah, kjer je imenovalec enak nič. Rešimo:

$e^z-1=0 \!\,$

če upoštevamo, da je z = x + iy in e^iy = cos(y) + i sin(y):

$e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos(y)+i\sin(y)) \!\, ,$

kjer nato upoštevamo, da sta x in y realni. Ker je y realna, je absolutna vrednost cos(y) + i sin(y) nujno enaka 1. Zato je absolutna vrednost e^z lahko enaka 1, če je e^x enako 1, in, ker je x realna, se to zgodi, če je x = 0. Zato potrebujemo cos(y) + i sin(y) = 1. Ker je y realna, to velja edino kadar je cos(y) = 1 in sin(y) = 0, in je y večkratnik od 2π. Ker je realni del x enak 0 in je imaginarni del y neničelni večkratnik od 2π, je rešitev naše enačbe:

z = a neničelni večkratnik pd 2πi.

Najbližja singularnost središču (središče leži v tem primeru leži v 0) je v 2πi ali − 2πi. Razdalja od središča do obeh točk je enaka, in toliko je tudi vrednost konvergenčnega polmera.

[uredi] Konvergenca na »konvergenčni krožnici«

Konvergenčna krožnica potenčne vrste je množica točk v kompleksni ravnini na razdalji r od točke, okoli katere je vrsta razvita, in je r konvergenčni polmer. Potenčna vrsta lahko divergira v vsaki točki obsega konvergenčnega diska, ali divergira v nekaterih točkah na obsegu in konvergira v drugih točkah, ali pa konvergira v vseh točkah na krožnici.

Zgled 1: Potenčna vrsta funkcije ƒ(z) = (1 − z)⁻¹, razvita okoli z = 0, ima konvergenčni polmer enak 1 in divergira v vsaki točki na konvergenčni krožnici.

Zgled 2: Potenčna vrsta za g(z) = ln(1 − z) ima konvergenčni polmer r = 1, razvita okoli točke z = 0, in divergira za z = 1, konvergira pa v vseh drugih točkah na krožnici. ƒ(z) v prvem zgledu je odvod negativne vrednosti g(z).

Zgled 3: Potenčna vrsta:

$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(-n)(n-1)} z^n \!\,$

ima konvergenčni polmer enak 1 in konvergira povsod na krožnici. Če je h(z) funkcija, predstavljena s to vrsto, je odvod h(z) enak g(z) v drugem zgledu.

[uredi] Razlaga stopnje konvergence

Če razvijemo funkcijo:

$f(x)=\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\mbox{ za vse } x \!\,$

okoli točke x = 0, ugotovimo, da je konvergenčni polmer te vrste enak $\scriptstyle\infty$ , kar pomeni, da vrsta konvergira za vse kompleksne vrednosti. Včasih potrebujemo točen numerični odgovor. Število členov in vrednost, v kateri bomo izračunali vrsto, vpliva na točnost numeričnega izračuna. Če želimo na primer izračunati ƒ(0,1) = sin(0,1) točno na 5 decimalnih mest, potrebujemo le prva dva člena vrste. Če pa želimo isto točnost za x = 1, moramo izračunati in sešteti prvih pet členov vrste. Za ƒ(10) za isto točnost potrebujemo osemnajst in za ƒ(100) prvih 141 členov.

Najhitreje razvoj vrste konvergira v središču in pri oddaljevanju od središča konvergence se stopnja konvergence zmanjša dokler ne dosežemo meje, če obstaja, in jo prečkamo, kjer bo vrsta divergirala.

[uredi] Grafični zgled

Obravnavajmo funkcijo 1/(z² + 1).

Funkcija ima pola v z = $\scriptstyle \pm$ i.

Kot je razvidno iz prvega zgleda, je konvergenčni polmer te funkcije enak 1, saj je razdalja od 0 do obeh polov enaka 1. Potem bo Taylorjeva vrsta te funkcije okoli točke $z = 0$ konvergirala le kadar je |z| < 1.

[uredi] Konvergenčna abscisa Dirichletove vrste

Sorodni pojem je konvergenčna abscisa Dirichletove vrste:

$\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s} \!\, .$

Takšna vrsta konvergira, če je realni del s manjši od določenega števila, kar je odvisno od koeficientov a_n, od konvergenčne abscise.

[uredi] Viri

Brown, James & Ruel Churchill (1989), Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-010905-6

[uredi] Zunanje povezave

Kaj je konvergenčni polmer? (v angleščini)

Kategoriji: Kompleksna analiza | Matematična analiza

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.