Список интегралов элементарных функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от $exp(x 2)$ не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в статье список интегралов.

$C$ использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

[править] Интегралы простых функций

[править] Рациональные функции

Основная статья: Список интегралов от рациональных функций

$~\int 0\, dx = C$

$~\int a\,dx = ax + C$

$~\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\operatorname{arctg} {x \over a} + C$

$\int {dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C$

[править] Логарифмы

Основная статья: Список интегралов от логарифмических функций

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

[править] Экспоненциальные функции

Основная статья: Список интегралов от экспоненциальных функций

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

[править] Иррациональные функции

Основная статья: Список интегралов от иррациональных функций

$\int {du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arcsin {u \over a} + C$

$\int {-du \over \sqrt{a^2-u^2}} = \arccos {u \over a} + C$

$\int {du \over u\sqrt{u^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|u| \over a} + C$

$\int {du \over \sqrt{{u^2} \pm {a}}} = \ln \left|{u + \sqrt {{u^2} \pm {a}}}\right| + C$

[править] Тригонометрические функции

Основные статьи: список интегралов от тригонометрических функций, список интегралов от обратных тригонометрических функций

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \operatorname{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \operatorname{ctg}\,{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \operatorname{tg} x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\operatorname{ctg} x + C$

$\int \sec{x} \, \operatorname{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \operatorname{ctg}\,{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \operatorname{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatorname{arctg}\,{x} - \ln \sqrt{1 + x^2} + C$

[править] Гиперболические функции

Основная статья: список интегралов от гиперболических функций

$\int \textrm{sh}\,x \, dx = \textrm{ch}\,x + C$

$\int \textrm{ch}\,x \, dx = \textrm{sh}\,x + C$

$\int \textrm{th}\,x \, dx = \ln |\textrm{ch}\,x| + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \textrm{th}\,{x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\textrm{sh}\,x) + C$

$\int \textrm{cth}\,x \, dx = \ln|\textrm{sh}\,x| + C$

[править] Литература

Градштейн И. С. Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.: Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г.Б. Таблицы интегралов (5-е издание). М.: Наука, 1977.

[править] Ссылки

Категория: Списки интегралов

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.