Правильный пятиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Правильный пятиугольник или пентагон (греч. πενταγωνον) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Содержание

1 Свойства
2 Построение
3 Получение с помощью полоски бумаги
4 Интересные факты
5 См. также

[править] Свойства

У правильного пятиугольника угол равен
$\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ$
Площадь правильного пятиугольника с длиной стороны $t$ рассчитывается по формуле:
$S = \frac{5}{4} t^2 \mathop{\mathrm{ctg}}\, \frac{\pi}{5}$ ,
или

$S = \frac{5}{2} R^2 \sin \frac{2 \pi}{5} = 5 r^2 \mathop{\mathrm{tg}}\, \frac{\pi}{5}$ ,
где $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ .

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Высота правильного пятиугольника:

$h = \frac{\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{2} t$

Площадь правильного пятиугольника:

$S = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{4} t^2$

Радиус вписанной окружности правильного пятиугольника:

$r = \frac{\sqrt 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}{10} t$

Радиус описанной окружности правильного пятиугольника:

$R = \frac{\sqrt 10 \sqrt{5 + \sqrt{5}}}{10} t = ( \sqrt 5 - 1) r$

[править] Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписав его в заданную окружность, или построив на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
Постройте точку C посередине между O и B.
Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
Проведите окружность с центром в A через точку D. Обозначьте её пересечения с оригинальной (зелёной окружностью) как точки E и F.
Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

[править] Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

[править] Интересные факты

Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.

Пентагон

Пентагон — здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.
Правильный пятиугольник -правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.

[править] См. также

Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Правильные многоугольники
Треугольник \| Четырёхугольник \| Пятиугольник \| Шестиугольник \| Семиугольник \| Восьмиугольник \| Девятиугольник \| Семнадцатиугольник \| 257-угольник \| 65537-угольник
(См. также: Многоугольник, Теорема Гаусса — Ванцеля)