Fünfeck

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regelmäßiges Fünfeck

Ein Fünfeck (griech. pentagon) ist eine geometrische Figur. Es gehört zur Gruppe der Vielecke (= Polygone) und ist durch fünf Punkte definiert.

Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Zusammenhänge
2 Formeln
3 Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal
4 Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau
- 4.1 Bedeutung des Fünfecks
5 Weblinks
6 Link auf Wikibooks

[Bearbeiten] Mathematische Zusammenhänge

Sofern nichts anderes gesagt wird, ist von einem ebenen, regelmäßigen Fünfeck die Rede. Dieses besitzt fünf gleichlange Seiten und fünf gleichgroße Innenwinkel. Die fünf Eckpunkte liegen in einer Ebene.

[Bearbeiten] Formeln

Für ein gleichseitiges Fünfeck (Pentagon) mit der Seitenlänge $a$ gilt:

Fläche	$A = \frac{{a^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4}$
Umkreisradius	$r_u = a \cdot \sqrt{\frac{2}{5 - \sqrt{5}}}$
Inkreisradius	$r_i = \frac{a}{2 \sqrt {5 - 2\sqrt 5 }}$
Diagonale	$d = \frac{a}{2}\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$
Höhe	$h = r_u+r_i=\frac{a}{2}\sqrt {5 + 2\sqrt 5 }$
Umfang	$u = 5 \cdot a$

Beweis siehe Weblinks unten.

[Bearbeiten] Formeln für Winkelberechnungen

Die Summe der Innenwinkel eines Fünfecks beträgt stets 540° und ergibt sich aus einer allgemeinen Formel für Polygone, in der für die Variable $n$ die Anzahl der Eckpunkte des Polygons eingesetzt werden muss (in diesem Fall: $n$ = 5):

$\sum {\alpha =}(n - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Der Winkel, den zwei benachbarte Seitenkanten im ebenen, regelmäßigen Fünfeck miteinander einschließen, beträgt (wiederum nach einer allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone)

$\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{5} \cdot 180^\circ = 108^\circ$

Reguläres Fünfeck

[Bearbeiten] Formel für die Fläche A

Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge $a$ ist das Fünffache der Fläche eines von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Eckpunkte aufgespannten Dreiecks.

$A=5 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \tan 54^\circ \cdot \frac{a}{2} = \frac{5}{4} \cdot a^2 \cdot \tan 54^\circ \approx a^2\cdot 1{,}7204774.$

Allgemein mit dem Umkreisradius r_u

$A=\frac{5}{8}\cdot r_u^2 \cdot \sqrt{10+2\sqrt 5}$

oder auch

$A=\frac{5}{2}\cdot r_u^2 \cdot \sin{72^\circ} \approx r_u^2 \cdot 2{,}3776413.$

[Bearbeiten] Formel für die Seitenlänge a

$a=2 \cdot r_u \cdot \cos 54^\circ$

oder auch:

$a=r_u \cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt 5}{2}} \approx r_u \cdot 1{,}1755705.$

[Bearbeiten] Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Pentagramm

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seiner Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis, d.h. AD verhält sich zu BD wie BD zu CD.

[Bearbeiten] Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis

Für das regelmäßige Fünfeck existiert eine mathematisch exakte Konstruktion zur Bestimmung der Seitenlänge. Im Folgenden die Erläuterungen zur nebenstehenden Abbildung (Bild anklicken zeigt Vergrößerung; die Farben dienen zur besseren Veranschaulichung):

Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um den Mittelpunkt M.
Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein.
Halbiere einen Radius (gelb, Punkt D).
Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius DE um Punkt D. Er schneidet die Gerade AM im Punkt F. Die Strecke EF ist die Länge der Seite.
Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Berechnung zur Konstruktion:

$\overline{EM}= r \cdot 1$

$\overline{DM}= r \cdot \frac{1}{2}$

$\overline{DE}= r \cdot \sqrt{1+ \left(\frac{1}{2}\right)^2}$

$\overline{MF}= r \cdot \left(\sqrt{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{2} \right)$

$\overline{EF}= r \cdot \sqrt{1 + \left( \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{2} \right)^2}$

Umformen des Faktors:

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \left( \sqrt{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{1 + \left( \sqrt{\frac{5}{4}} -\frac{1}{2} \right)^2}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \left( \frac{\sqrt{5}}{2} -\frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{1 + \left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)^2}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{1+ \frac{ 5- 2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}} = \sqrt{ \frac{4}{4} + \frac{5-2 \cdot \sqrt{5} + 1 }{4}}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{\frac{4+5- 2 \cdot \sqrt{5} +1}{4}} = \sqrt{\frac{10- 2 \cdot \sqrt{5}}{4}}$

$\frac{\overline{EF}}{r} = \sqrt{ \frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$

Das entspricht genau dem Faktor in der obigen Formel für die Seitenlänge a.

Die Seitenkanten des Dreiecks MEF entsprechen exakt den Seitenlängen des regelmäßigen Sechsecks (ME), des regelmäßigen Fünfecks (EF) und des regelmäßigen Zehnecks (FM) mit dem gegebenen Umkreisradius r.

Mathematisch ausgedrückt:

Einen Kreis mit beliebigem Radius r mit dem Mittelpunkt M zeichnen und auf dem Durchmesser die Mittelsenkrechte konstruieren.
Die Schnittpunkte des Durchmessers mit dem Kreis werden mit A und X bezeichnet, die der Mittelsenkrechten mit E und Y. (X und Y fehlen in der Darstellung)
Zirkel in A einsetzen und AM=r auf dem Kreis abtragen. Die Schnittpunkte werden mit B und C bezeichnet. (gelber Kreis)
BC schneidet AM in D.
Zirkel in D einsetzen und DE auf AX abtragen, womit wir F erhalten.

ME ist die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, EF die des regelmäßigen Fünfecks und FM die des regelmäßigen Zehnecks mit dem gegebenen Umkreisradius r.

[Bearbeiten] Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat sehr häufig die Form eines Fünfecks. Anschauliche Beispiele sind die vollständig erhaltene Festung Bourtange in den Niederlanden und die nur noch teilweise vorhandene Zitadelle der Festung Wesel. Eine der wichtigen pentagonalen Festungen in Nordwestdeutschland überhaupt war die im Wesentlichen noch erhaltene Festung Orsoy (Ortsteil Stadt Rheinberg). Ein weiterer Festungsbau im Pentagramm ist die Wülzburg bei Weißenburg/Bayern. Ursprünglich war sie eine Benediktinerabtei.

Auch das Pentagon in Washington nutzt das Fünfeck als Grundriss und spielt damit auf diesen alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an. (Bei den bis zum 11. September 2001 möglichen Pentagonführungen wurde ein anderer Grund für die Formwahl genannt: Das Pentagon sollte ursprünglich an anderer Stelle errichtet werden, und die Form war durch die fünf um das vorgesehene Grundstück verlaufende Straßen vorgegeben. Allerdings konnte am vorgesehenen Platz nicht gebaut werden. Weil man in Zeitnot war, wurden die Pläne nicht mehr geändert.)

[Bearbeiten] Bedeutung des Fünfecks

Sternmotoren wurden meistens als 5, 7 oder 9-Zylinder gebaut.

[Bearbeiten] Weblinks

Eine Möglichkeit, exakte Fünfecke mit SVG zu zeichnen, findet sich in den Wikimedia Commons

[Bearbeiten] Link auf Wikibooks

Wikibooks: Fünfeck – Lern- und Lehrmaterialien

Kategorie: Geometrische Figur

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