Правильный восьмиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Правильный восьмиугольник — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой.

Содержание

1 Основные сведения
2 Формулы для расчёта площади
3 Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
4 Применение восьмиугольников

[править] Основные сведения

Построение правильного восьмиугольника

Восьмиугольник можно построить, проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080° и вычисляется по формуле:

$\sum \alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ$

Один угол правильного восьмиугольника составляет

$\alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ$

[править] Формулы для расчёта площади

Разделим правильный восьмиугольник на 8 равнобедренных треугольников. Противолежащий основанию угол в них равен 360° : 8 = 45°. Углы при основании равны 67,5°. Проводим высоту, которая делит такой треугольник пополам. В результате возникает прямоугольный треугольник с углами 67,5°, 22,5° и 90°. Следующие выкладки выводятся из этого прямоугольного треугольника, при этом принимается:

a — длина стороны восьмиугольника
a‘ — половина длины стороны восьмиугольника
r — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности
A — искомая площадь восьмиугольника
A‘ — площадь прямоугольного треугольника

Если дан радиус r:
Искомое бедро (противолежащий острому углу катет) можно установить через тангенс 22,5°:

$a' = r \cdot \tan 22{,}5^\circ$

Площадь прямоугольного треугольника в этом случае равна

$A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (r \cdot \tan 22{,}5^\circ) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ$

Площадь равнобедренного треугольника в 2 раза больше площади прямоугольного треугольника, а прощадь всего восьмиугольника в восемь раз больше площади равнобедренного треугольника:

Формула 1: $A = 2 \cdot 8 \cdot A' = 16 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ \right) = 8 \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ$

Если дана сторона а:
Аналогично вышеупомянутому рассмотрению, можно установить радиус r вписанной окружности через tg 22,5°, а а‘ явилась бы половиной от а:

Формула 2: $r = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ}$

Площадь прямоугольного треугольника равна

$A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ}$

В соответствии с этим для общей площади имеем

$A = 8 \cdot 2 \cdot A' = 16 \cdot \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ} = \frac{8 \cdot a'^2}{\tan 22{,}5^\circ}$

Если дан радиус R:
Отношение а‘ к R равно синусу острого угла:

$a' = R \cdot \sin 22{,}5^\circ$

Радиус r вписанной окружности составляет (см. формулу 2)

$r = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{R \cdot \sin 22{,}5^\circ}{\tan 22{,}5^\circ} = R \cdot \cos 22{,}5^\circ$

Площадь прямоугольного треугольника равна

$A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (R \cdot \sin 22{,}5^\circ) \cdot (R \cdot \cos 22{,}5^\circ) = \frac{R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{2}$

По уже известной формуле получаем площадь равной

$A = 8 \cdot 2 \cdot A' = 16 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ \right) = 8 \cdot R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ$

[править] Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

Примем:

t — длина стороны восьмиугольника
r — радиус вписанной окружности
R — радиус описанной окружности
S — площадь восьмиугольника

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной $(1 + \sqrt 2 ) \cdot t$ , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

$r = \frac{1 + \sqrt 2}{2} t$

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

$R = \sqrt{1 + \frac {\sqrt 2} {2}} t$

Площадь правильного восьмиугольника:

$S = ( 2 + \sqrt 2) t^2$

[править] Применение восьмиугольников

В некоторых странах знак «Stop» имеет вид красного восьмиугольника.

Дорожный знак «Stop»

Правильные многоугольники
Треугольник \| Четырёхугольник \| Пятиугольник \| Шестиугольник \| Семиугольник \| Восьмиугольник \| Девятиугольник \| Семнадцатиугольник \| 257-угольник \| 65537-угольник
(См. также: Многоугольник, Теорема Гаусса — Ванцеля)

Категория: Правильные многоугольники

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Правильный восьмиугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Основные сведения

[править] Формулы для расчёта площади

[править] Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

[править] Применение восьмиугольников

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках