Начала Евклида

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ватиканский манускрипт, т.2, 207v - 208r. Euclid XI prop. 31, 32 и 33.

Начала (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) — главный труд Евклида, посвященный аксиоматическому построению геометрии. Начала - вершина античной геометрии и античной математики вообще, итог её 300-летнего развития. Написана книга ок. 300 до н. э.

Прокл сообщает, что подобные сочинения были и до Евклида: Начала были написаны Гиппократом Хиосским, а также платониками Леонтом и Февдием. Но эти сочинения, по-видимому, были утрачены ещё в античности.

Текст Начал на протяжении веков были предметом дискуссий, к ним написаны многочисленные комментарии. Древнейший из их, написанный Проклом^[1], является важнейшим источником по истории и методологии греческой математики. В частности, Прокл дает краткое изложение истории греческой математики (т.н. Евдемов каталог геометров), обсуждает весьма непростую взаимосвязь метода Евклида и логики Аристотеля, роль воображения в доказательствах. Из древних комментаторов следует упомянуть Паппа, из новых — Пьера Рамуса^[2],Федериго Коммандино^[3], Христофа Шлюсселя (Клавия)^[4] и Савелиуса.

Этот труд оказывал огромное влияние на развитие математики вплоть до Новейшего времени. Начала переведены почти на все языки мира. Напр., на китайском языке первые 6 книг Начал издал Маттео Риччи во время своей миссии в Китае (1583—1610). По количеству переизданий Начала не имеют себе равных среди светских книг.

Альберт Эйнштейн так оценивал «Начала»: «Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением» ^[5].

Содержание

1 Краткий обзор содержания
2 Манускрипты и издания Начал
- 2.1 Греческий текст Начал
- 2.2 Латинский текст Начал
3 Литература
4 Ссылки
5 См. также

[править] Краткий обзор содержания

В Началах излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в Началах ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, напр., I def. 2 — второе определение первой книги.

Первая книга начинается определениями, из которых первые семь гласят:

1. Точка есть то, что не имеет частей. 2. Линия — длина без ширины. 3. Края же линии — точки. 4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. 5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. 6. Края же поверхности — линии. 7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.

За определениями Евклид приводит постулаты:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. 4 . Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

За постулатами следуют аксиомы, которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам: «если к равным прибавить равное, то результаты будут равны», и т. п. Четвёртая аксиома задаёт возможность сравнивать геометрические фигуры наложением: «совмещающиеся равны». I post. 4 и 5 в ряде списков выступают как I ax. 10 и 11 соответственно.

Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый Пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он демонстративно чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

I книга — различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных линиях; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой; теорема Пифагора.

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры».

III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах.

IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках.

V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским.

VI книга — учение о подобии геометрических фигур.

VII, VIII и IX книги посвящены теоретической арифметике. Здесь доказывается бесконечность множества простых чисел, приводится алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, строятся чётные совершенные числа.

X книга — классификация несоизмеримых величин.

XI книга — начала стереометрии: теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей; теоремы о телесных углах, теоремы о равенстве и подобии параллелепипедов.

XII книга — теоремы о пирамидах и конусах, доказываемым с помощью метода исчерпывания.

XIII книга — построение правильных многогранников; доказательство того, что существует ровно пять правильных многогранников.

Ван дер Варден полагает, что прототипом для труда Евклида послужили более ранние сочинения античных математиков:

Книги I—IV и XI — «Начала» Гиппократа Хиосского.
Книги V—VI и XII — Евдокс Книдский.
Книги VII—IX — сочинения Архита Тарентского и других пифагорейцев.
Книги X и XIII — Теэтет Афинский.

[править] Манускрипты и издания Начал

[править] Греческий текст Начал

Папирус из Oxyrhynchus

При раскопках античных городов найдено несколько папирусов, содержащих небольшие фрагменты Начал Евклида. Самый известный был найден на развалинах древнего города Oxyrhynchus, вблизи современной деревни Behnesa (примерно в 110 милях вверх по Нилу от Каира и в 10 милях к западу от него) в 1896—1897 и содержит формулировку II prop. 5 с рисунком.^[6]

Греческий текст Начал Евклида известен по византийским манускриптам, из них самые известные:

MS D’Orville 301, Bodleian Library, Oxford
MS Vaticano, numerato 190, 4to, в 2 томах (Ватиканский манускрипт)

На их основе текст Начал был реконструирован Гейбергом (J.L. Heiberg) в конце 19 века, его методы подробно описаны Хизом (T. L. Heath).^[7]

Гейберг использовал в своей реконструкции 8 манускриптов, датируемых сейчас 9-11 веками. Из этих манускриптов семь в своем заглавии имеют пометку «из издания Теона» или «из лекций Теона» и поэтому называются Теоновскими. Ватиканский манускрипт такой пометки не имеет и считается неподверженным редакции Теона. Теоновские манускрипты разнятся между собой, и общих признаков, отличающих их от ватиканского манускрипта не много (наиболее существенный концовка IV книги). На полях манускриптов имеются многочисленные комментарии, взятые частично из комментариев Прокла, которые вписывают Начала в контекст греческой культуры, напр., сообщается о том, что Пифагор, открыв свою теорему, принес в жертву быков.

История обретения византийских манускриптов темна. Вероятно, они попали в Европу еще в 16 веке, но не были опубликованы. В первом издание греческого текста, осуществленном Йоханом Хервагеном (Johann Herwagen) между 1533 и 1558 под редакцией Симона Гринера (Simon Gryner, он же Grynaeus, профессор греческого в базельском университете), использованы манускрипты, которые, по мнению Гейберга, представляют собой весьма плохие копии 16 века. Лишь в 1808 Пейрар (F. Peyrard) во время наполеоновских экспроприаций нашел три манускрипта в Ватикане и среди них важнейший ватиканский.

[править] Латинский текст Начал

Манускрипт из Люнебурга, ок. 1200 года, передающий геометрию Боэция.

В Европе Начала Евклида на латинском языке были хорошо известны и в Средние века, и в эпоху Возрождения, однако далеко не в привычном теперь виде. Средневековые латинские трактаты, содержащие фрагменты Начал Евклида, каталогизированы Фолкертсом (Dr. Menso Folkerts)^[8]. В этом каталоге манускрипты разделены на след. группы:

Геометрия Боэция. Трактаты этой группы начинаются словами «Incipit Geometriae Boetii», имеют ряд общих признаков, хотя их тексты значительно расходятся. Текст занимает пять-шесть рукописных листов. Доказательства предложений отсутствуют, однако имеются иллюстрации с дополнительными построениями. Иногда доказательствами снабжаются только первые три теоремы. Первым определением предшествует утверждение о том, что основа геометрии в измерении длин, высот и ширин, после этого евклидовы определения приобретают другой смысл, напр., линия — объект, длину которого измеряют, а ширину нет и т. д. Язык не засорен арабскими терминами, поэтому считается, что геометрия Боэция — прямой перевод с греческого на латинский. Опубликован манускрипт из Люнибурга
Геометрия Аделарда (Adelard) составляет большой класс манускриптов, написанных разными авторами в разное время. Наибольшая подгруппа, названная как Adelard II, содержит все 15 книг Начал Евклида, впрочем, сохранность манускриптов такова, что говорит об этом нужно с осторожностью. Характерная черта – наличие доказательств, причем в лучших манускриптах доказательства предшествуют изложению (enucatio); некоторые доказательства даны подробно, другие лишь намечены. Некоторые изложения (enunciatio) в Adelard II буквально воспроизводят Боэция, другие имеют иную формулировку часто с арабскими эквивалентами вместо латинских терминов. Текст значительно разнится от манускрипта к манускрипту (в книгах VII-IX и XI-XIII доказательства особенно разнятся), так, что в средние века не было канонического текста для Adelard II, который все время дополнялся и улучшался. Стоит подчеркнуть, что доказательства отличаются способом выражения, но не математической сутью. В течение всего 12 века шла работа по улучшению доказательств.
Геометрия Кампано (Campanus) – комплекс рукописей 13-15 вв. В этой версии Начала весьма схожи с византийскими манускриптами и вполне могут рассматриваться как довольно точный перевод, засоренный арабскими терминами (напр., параллелепипед назван belmaui). Это издание представляет собой 15 книг, формулировки предложений близки к Adelard II, но доказательства следует за изложением. В заглавии манускриптов обычно отождествлены Евклид, автор Начал, и ученик Сократа философ Евклид Мегарский.

Печатные издания Начал Евклида каталогизированы Томасом-Стэнфордом^[9]. Первое печатное издание Начал^[10] было осуществлено Эрхардом Ратдольтом (Erhard Ratdolt) в Венеции в 1482 и оно воспроизводило Начала в обработке Кампано. Следующее издание, которое не копируют первое, было осуществлено Бартоломео Замберти 1505. Из предисловия известно, что Замберти переводил греческий манускрипт, передающий Начала в обработке Теона, однако, Гейбергу не удалось его идентифицировать.

В 16 веке считалось, что Евклиду принадлежат лишь формулировки теорем, доказательства же были придуманы позже; были распространены издания Начал без доказательств и издания, сравнивающие доказательства Кампана и Замберти^[11]. Этот взгляд имел вполне твердую основу: в начале 16 века была издана геометрия Боэция, которая тоже являлась переводом Начал Евклида, но доказательств в этом издании не содержалось. Считалось также, что использование в доказательствах буквенных обозначений подразумевает знакомство с буквенной алгеброй. Это мнение было отвергнуто в XVII веке.