Многочлены Эрмита
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В математике многочлены Эрмита представляют собой последовательность многочленов определенного вида, зависящих от одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.
Содержание |
[править] Определение
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
;
в физике обычно используется другое определение:
.
Два определения, приведенные выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является "отмасштабированной" версией другого
.
Явные выражения для первых десяти многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
.
[править] Свойства
[править] Ортогональность
Hn(x) -- полином порядка n, где n = 0, 1, 2, 3, .... Полиномы этой последовательности попарно ортогональны оносительно скалярного произведения, задаваемого выражением:
(вероятностная версия)
or
(физическая версия)
где δij -- Символ Кронекера, по определению равный 1, когда n = m и нулю во всех остальных случаях.
Таким образом, многочлены Эрмита образуют отрогональный базис в Гильбертовом пространстве функций, ограниченных в соответствующей норме
.
[править] Дифференциальное уравнение Эрмита
Многочлен Эрмита n-го порядка удовлетворяет дифференциальному уравнению Эрмита:
(в теории вероятностей)
(в физике)
[править] Рекурсивное выражение
Последовательность многочленов Эрмита допускает рекурсивное определение:
(в теории вероятностей)
(в физике)
[править] Применение
- Полиномы Эрмита применяются, в частности, в методе конечных элементов в качестве функций формы, что позволяет повысить гладкость получаемых приближенных решений.
- В квантовой механике полиномы Эрмита появляются при решении задачи квантового гармонического осциллятора
[править] Ссылки
- Eric W. Weisstein, Hermite Polynomial на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
- Module for Hermite Polynomial Interpolation by John H. Mathews
