Квантовый гармонический осциллятор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора. Однако здесь рассматривают не силы действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию для гармонического осциллятора, в котором присутствует параболическая потенциальная энергия.

Содержание

1 Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении
- 1.1 Операторы рождения и уничтожения
2 Ангармоничный осциллятор
3 Многочастичный квантовый осциллятор
4 Переходы под влиянием внешней силы
5 См. также

[править] Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, n = 0 … 7. По горизонтали отложена координата x, по вертикали — значение модуля ψ. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

$\! \hat{H} = \frac{\hat p ^2 }{2 m } + \frac{m \omega^2 \hat q}{2}$

В координатном представлении $\hat p=-i\hbar\partial/\partial x$ , $\hat q =x$ . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

$-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+\frac{m\omega^2 x^2}{2}\psi(x)=E\psi(x)$

имеет решение в классе функций интегрируемых с квадратом (грубо говоря, убывающих на бесконечности).

Решение имеет вид

$\left\langle x | \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp \left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)$

$, n = 0, 1, 2, \ldots$ , функции

H n

— полиномы Эрмита:

$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$

Уровни энергии соответствующих уровней даются формулой

$E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)$ .

Данный спектр значений заслуживает внимания по двум причинам: во-первых уровнии энергии дискретны и эквидистантны, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна $\hbar\omega$ . Во-вторых наименьшее значение энергии равно $\hbar\omega/2$ . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

[править] Операторы рождения и уничтожения

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу:

оператор рождения

$\! {a}^+ = \frac{({p} + {i} \omega {q})} {\sqrt{2 \hbar \omega}}$

оператор уничтожения

$\! {a} = \frac{({p} - {i} \omega {q})}{\sqrt{2 \hbar \omega}}$

коммутационное соотношение (квантовые скобки Пуассона) между ними

$\! [a, {a}^+] = {a}{a}^+ - {a}^+{a} = \frac{i}{\hbar} ({p}{q} - {q}{p}) = 1$

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

$\! H = \hbar\omega({a}^+{a}+1/2)$ .

[править] Ангармоничный осциллятор

Под ангармоничным осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармоничного осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

$H = {p^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 x^2 + \lambda x^3$

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

$\lambda \left({\hbar \over 2m\omega}\right)^{3\over 2} (a + a^\dagger)^3.$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутсвует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния $\left| \psi_E \right\rangle$ равна

$\Delta E^{(2)} = \lambda^2 \left\langle \psi_E \right| x^3 {1 \over E - \hbar\omega/2} x^3 \left| \psi_E \right\rangle.$

[править] Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взамодействие соседних частиц по квадратичному закону:

$H = \sum_{i=1}^N {p_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (nn)} (x_i - x_j)^2$

Здесь под $x i$ и $p i$ подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс $i$ -той частицы. Суммирование ведется только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов - бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твердом теле.

[править] Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы f(t) квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (n) на другие (m). Вероятность этого перехода $W n, m (t)$ для Осцилятора без затухания даётся формулой

$W_{n,m} (t) = \frac{n!}{m!} |\delta|^{2(n-m)}exp(-|\delta^2| \left ( L_n^{m-n} (|\delta|^2) \right )^2)$ , где