Сопряжённый оператор
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Содержание |
[править] Общее линейное пространство
Пусть — линейные пространства, а — сопряженные линейные пространства (пространства линейных функционалов, определенных на ). Тогда для любого линейного оператора и любого линейного функционала определён линейный функционал — суперпозиция g и A: f(x) = g(A(x)). Отображение называется сопряженным линейным оператором и обозначается .
Если кратко, то (A * g,x) = (g,Ax), где (g,x) — действие функционала g на вектор x.
[править] Топологическое линейное пространство
Пусть — топологические линейные пространства, а — сопряженные топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определенных на ). Для любого непрерывного линейного оператора и любого непрерывного линейного функционала определён непрерывный линейный функционал — суперпозиция g и A: f(x) = g(A(x)). Нетрудно проверить, что отображение линейно и непрерывно. Оно называется сопряженным оператором и обозначается также .
Если кратко, то (A * g,x) = (g,Ax), где (g,x) — действие функционала g на вектор x.
[править] Гильбертово пространство
В Гильбертовом пространстве H теорема Рисса дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство (Ax,y) = (x,A * y) определяет сопряженный оператор . Здесь (x,y) — скалярное произведение в пространстве H.
[править] Литература
Шефер Х., Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.