Дифференциальное уравнение в частных производных

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференциальное уравнение в частных производных (общеупотребительно сокращение УРЧП, также известны как уравнения математической физики) — дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

Содержание

1 Примеры
2 Решение уравнений математической физики
- 2.1 Аналитическое решение
  - 2.1.1 Уравнение диффузии
- 2.2 Числовое решение
  - 2.2.1 Уравнение колебаний струны
  - 2.2.2 Уравнение диффузии
3 См. также
4 Ссылки

[править] Примеры

$\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$ — уравнение колебаний струны (одномерный аналог волнового уравнения).
$\frac{\partial}{\partial t} c(x,t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2} {c(x,t)}$ — уравнение диффузии, также называемое уравнением распространения тепла.

Обычно рассматривается не просто уравнение, а некоторая краевая задача, представляющая собой само уравнение и некоторое количество начальных и/или краевых условий.

Теория уравнений в частных производных во многом сложнее и менее развита, чем теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, теоремы существования и единственности для УРЧП доказаны лишь для некоторых специальных классов задач.

[править] Решение уравнений математической физики

Существует два метода решения данного типа уравнений:

аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
числовой, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и, поэтому, выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

[править] Аналитическое решение

==== Уравнение колебаний 9

[править] Уравнение диффузии

[править] Числовое решение

[править] Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции $y = y (x)$ :

$~y'= \lim_{\Delta x \to 0}{\Delta y \over \Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}{{f(x + \Delta x)} - f(x) \over \Delta x}$

Если имеется функция $u = u (x, t)$ , то частичная производная будет следующая:

$~u_x' = {\partial x \over \partial y} = \lim_{\Delta x \to 0}{{u(x + \Delta x, t) - u(x,t)} \over \Delta x}$

Так как $Δ x$ мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получем следующие выражения:

$~u_x' \approx {{u(x + \Delta x, t) - u(x,t)} \over \Delta x}$

$~u_t' \approx {{u(x, t + \Delta t) - u(x,t)} \over \Delta t}$

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

$u(x,t) = u_i^j$

$u(x + \Delta x,t) = u_{i+1}^j$

$u(x,t + \Delta t) = u_i^{j+1}$

Δ x = h

Δ t = τ

Тогда предыдущие выражения можно записать так: $u_x' \approx {{u_{i+1}^j - u_i^j} \over h}$ , $u_t' \approx {{u_i^{j+1} - u_i^j} \over \tau}$

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому: $u_x' \approx {{u_i^j - u_{i-1}^j} \over h}$ , $u_t' \approx {{u_i^j - u_i^{j-1}} \over \tau}$ - это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

$2 u_x' \approx {{u_i^j - u_{i-1}^j + u_{i+1}^j - u_i^j} \over h}$

$2 u_t' \approx {{u_i^j - u_i^{j-1} + u_i^{j+1} - u_i^j} \over \tau}$

из которых следует:

$2 u_x' \approx {{u_{i+1}^j - u_{i-1}^j} \over 2h}$

$2 u_t' \approx {{u_i^{j+1} + u_i^{j-1}} \over 2\tau}$

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

$u_{xx}^{''} = {{\partial ^2u} \over {\partial x^2}} \approx {{u_{i-1}^j - 2u_i^j + u_{i+1}^j} \over h^2}$

$u_{tt}^{''} = {{\partial ^2u} \over {\partial t^2}} \approx {{u_i^{j-1} - 2u_i^j + u_i^{j+1}} \over \tau ^2}$

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ .

Дополнительные условия задаются в виде: $u | x = 0 = f 1 (t)$ , $u | x = l = f 2 (t)$ , $u | t = 0 = g 1 (x)$ , $u | t = 0 = g 2 (x)$ ,

где

f 1 (t)

f 2 (t)

- позиции концов (креплений) струны во времени,

g 1 (x)

g 2 (x)

- начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени по формуле

Сетка значений функции

$u_i^{j+1} = \tau \cdot g_2(x) + u_i^j$ .

В вычислениях используют дискретизацию струны (разделяют её на одинаковые интервалы, длина которых $h$ (см.рис).

Значения функции остальным $x$ и $t$ можно вычислить из уравнения колебаний струны:

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

${{\partial ^2u} \over {\partial t^2}} = {{u_i^{j+1} - 2u_i^j + u_i^{j-1}} \over \tau ^2}$

${{\partial ^2u} \over {\partial x^2}} = {{u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j} \over h^2}$

${{u_i^{j+1} - 2u_i^j + u_i^{j-1}} \over \tau ^2} = a^2{{u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j} \over h^2}$

$u_i^{j+1} = {{\tau ^2 a^2 \over h^2}} \left( u_{i+1}^j - 2u_i^j + u_{i-1}^j \right) + 2u_i^j - u_i^{j-1}$

Таким образом, мы получили схему, по которой можно получить значения функции для любых $x$ и $t$ , используя значения функции при предыдущих $x$ и $t$ . Схематично это можно представить так:

Этот метод даёт приближённый ответ, степень точности $Θ(τ 2 + h 2)$ . Для достаточно точных результатов необходимо использовать интервалы $h < 0.1$ и $\tau \le {h^2 \over 2}$ .