Parciální diferenciální rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Jako parciální diferenciální rovnice označujeme diferenciální rovnice, ve kterých se vyskytují parciální derivace funkcí více proměnných. Obecně lze parciální diferenciální rovnici zapsat ve tvaru

$F\left(x_1,x_2,...,x_n,z,\frac{\part z}{\part x_1},...,\frac{\part z}{\part x_n},\frac{\part^2 z}{\part x_1^2},\frac{\part^2 z}{\part x_1 \part x_2},...,\frac{\part^2 z}{\part x_1 \part x_n},\frac{\part^2 z}{\part x_2^2},...,\frac{\part^k z}{\part x_n^k},...\right) = 0$ ,

kde $z (x 1, x 2,..., x n)$ je neznámá funkce $n$ proměnných.

Tímto obecným vztahem lze popsat lineární i nelineární parciální diferenciální rovnice.

Obsah

1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu
- 1.1 Lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu
- 1.2 Kvazilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu
2 Parciání diferenciální rovnice druhého řádu
- 2.1 Speciální typy rovnic druhého řádu
  - 2.1.1 Metoda separace proměnných
- 2.2 Lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu
  - 2.2.1 Kanonický tvar rovnice
3 Související články

[editovat] Parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Parciální diferenciální rovnice prvního řádu jsou diferenciální rovnice, v nichž se vyskytují nejvýše parciální derivace prvního řádu. Takovou rovnici psát v obecném tvaru

$F\left(x_1,x_2,...,x_n,z,\frac{\part z}{\part x_1},...,\frac{\part z}{\part x_n}\right) = 0$ ,

kde $z (x 1, x 2,..., x n)$ je neznámá funkce $n$ proměnných.

Pokud má parciální diferenciální rovnice prvního řádu jednoduchý tvar, pak ji můžeme řešit jako obyčejnou diferenciální rovnici. Je však třeba vzít v úvahu, že při integraci podle proměnné $x i$ považujeme všechny ostatní proměnné, tzn. $x 1, x 2,..., x i - 1, x i + 1$ , atd., za konstanty a za integrační konstantu bereme funkci $c i (x 1, x 2,..., x i - 1, x i + 1,...)$ , tzn. při integraci podle $x i$ je integrační konstantou libovolná funkce, která nezávisí na proměnné $x i$ .

Příkladem parciální diferenciální rovnice tohoto typu může být rovnice $\frac{\part z}{\part y} = ax+by+c$ . Integrací této rovnice dostaneme obecné řešení ve tvaru $z= axy+\frac{b}{2}y^2+cy+c(x)$ , kde $c (x)$ je libovolná funkce závislá na proměnné $x$ .

[editovat] Lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Lineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu lze vyjádřit obecným vztahem

$a_1(x_1,x_2,...,x_n)\frac{\part z}{\part x_1} + a_2(x_1,x_2,...,x_n)\frac{\part z}{\part x_2} + ... + a_n(x_1,x_2,...,x_n)\frac{\part z}{\part x_n} = b(x_1,x_2,...,x_n)$

Tuto rovnici pro $b(x_1,x_2,...,x_n)\neq 0$ označujeme jako nehomogenní lineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu v $n$ proměnných. Pro $b (x 1, x 2,..., x n) = 0$ hovoříme homogenní lineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu v $n$ proměnných.

Mějme pro jednoduchost homogenní lineární parciální diferenciální rovnici prvého řádu ve dvou nezávisle proměnných, kterou lze zapsat jako

$P(x,y)\frac{\part z}{\part x} + Q(x,y)\frac{\part z}{\part y} = 0$

Předpokládejme, že existují funkce $x = ω 1 (t), y = ω 2 (t)$ proměnné $t$ , které jsou pro $t\in(\alpha,\beta)$ řešením soustavy diferenciálních rovnic

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = P(x,y)$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = Q(x,y)$

Předpokládejme také, že existuje funkce $z (x, y)$ , která je řešením dané rovnice, a pro $t\in(\alpha,\beta)$ leží body $(x, y) = [ω 1 (t),ω 2 (t)]$ v definičním oboru funkce $z (x, y)$ . V takovém případě platí, že $z (ω 1 (t),ω 2 (t)) = konst$ .

Řešení $ω 1 (t),ω 2 (t)$ jsou tzv. charakteristiky (prvního řádu). Řešením rovnice $P(x,y)\frac{\part z}{\part x} + Q(x,y)\frac{\part z}{\part y} = 0$ tedy získáme funkci $z$ , která je konstantní podél charakteristik. Charakteristiky lze také chápat jako určitý druh vrstevnic na ploše $z (x, y)$ , která je řešením dané rovnice.

Při řešení dané postupujeme tak, že vytvoříme soustavu uvedenou soustavu rovnic, z níž určíme charakteristiky soustavy. Funkci $z (x, y)$ pak určíme tak, aby byla konstantní podle každé charakteristiky a měla spojité parciální derivace prvního řádu.

Uvedený postup lze zobecnit na homogenní parciální diferenciální rovnici v $n$ proměnných

$P_1(x_1,x_2,..,x_n)\frac{\part V}{\part x_1} + P_2(x_1,x_2,...,x_n)\frac{\part V}{\part x_2}+ ... +P_n(x_1,x_2,...,x_n)\frac{\part V}{\part x_n} = 0$ ,

kde předpokládáme platnost podmínky $\sum_{i=1}^n P_i^2(x_1,x_2,...,x_n)>0$ . Danou rovnici zapisujeme také ve zkráceném tvaru

$\sum_{i=1}^n P_i(x_1,x_2,...,x_n)\frac{\part V(x_1,x_2,...,x_n)}{\part x_i} = 0$

K určení charakteristik této rovnice sestrojíme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic, které zapisujeme ve tvaru

$\frac{\mathrm{d}x_1}{P_1(x_1,x_2,...,x_n)} = \frac{\mathrm{d}x_2}{P_2(x_1,x_2,...,x_n)} = ... = \frac{\mathrm{d}x_n}{P_n(x_1,x_2,...,x_n)}$

Pokud každým bodem oblasti $Ω$ , v níž uvedenou rovnici řešíme, prochází alespoň jedna charakteristika a pokud existuje funkce $V (x 1, x 2,..., x n)$ , která je konstantní podél charakteristik a současně má v $Ω$ spojité parciální derivace prvního řádu, potom je $V (x 1, x 2,..., x n)$ v $Ω$ řešením dané rovnice.

[editovat] Kvazilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Tyv. kvazilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu jsou rovnice, které lze zapsat jako

$a_1(x_1,x_2,...,x_n,z)\frac{\part z}{\part x_1} + a_2(x_1,x_2,...,x_n,z)\frac{\part z}{\part x_2} + ... + a_n(x_1,x_2,...,x_n,z)\frac{\part z}{\part x_n} = b(x_1,x_2,...,x_n,z)$

Mějme nyní kvazilineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných $x, y$ , kterou vyjádříme ve tvaru

$P(x,y,z)\frac{\part z(x,y)}{\part x} + Q(x,y,z)\frac{\part z(x,y)}{\part y} = R(x,y,z)$

Předpokládejme, že funkce $z (x, y)$ je implicitně určena rovnicí $V (x, y, z) = 0$ , přičemž parciální derivace $V$ podle $z$ je nenulová, tzn. $\frac{\part V}{\part z}\neq 0$ . Pro parciální derivace podle x, y platí

$\frac{\part V}{\part x} + \frac{\part V}{\part z}\frac{\part z}{\part x} = 0$

$\frac{\part V}{\part y} + \frac{\part V}{\part z}\frac{\part z}{\part y} = 0$

Dosazením těchto vztahů do předchozí rovnice dostaneme

$-P\frac{\frac{\part V}{\part x}}{\frac{\part V}{\part z}}-Q\frac{\frac{\part V}{\part y}}{\frac{\part V}{\part z}}=R$

Tuto rovnici přepíšeme do tvaru

$P\frac{\part V}{\part x} + Q\frac{\part V}{\part y}+R\frac{\part V}{\part z} = 0$

Platí přitom, že pokud je $z (x, y)$ řešením původní rovnice, pak $V (x, y, z) = 0$ je řešením posledně uvedené rovnice.

Obecné řešení kvazilineární rovnice získáme tak, že k ní určíme rovnici $P\frac{\part V}{\part x} + Q\frac{\part V}{\part y}+R\frac{\part V}{\part z} = 0$ , ke které určíme ze soustavy rovnic $\frac{\mathrm{d}x}{P} = \frac{\mathrm{d}y}{Q} = \frac{\mathrm{d}z}{R}$ charakteristiky $\varphi_1(x,y,z) = C_1, \varphi_2(x,y,z)=C_2$ , s jejichž pomocí určíme obecné řešení, neboť $V(x,y,z)=F(\varphi_1,\varphi_2)=0$ . Řešení může mít také tvar $\varphi_1=f(\varphi_2)$ nebo $\varphi_2=f(\varphi_1)$ .

Podobně postupujeme také v případě řešení kvazilineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu v $n$ proměnných, kdy hledáme nezávislé integrály $\varphi_i(x_1,x_2,...,x_n)=C_i$ , které jsou řešením soustavy $\frac{\mathrm{d}x_1}{a_1} = \frac{\mathrm{d}x_2}{a_2} = ... = \frac{\mathrm{d}x_n}{a_n} = \frac{\mathrm{d}z}{b}$ . Obecný integrál má pak tvar

$F(\varphi_1(x_1,x_2,...,x_n),\varphi_2(x_1,x_2,...,x_n),...,\varphi_n(x_1,x_2,...,x_n))=0$

[editovat] Parciání diferenciální rovnice druhého řádu

Parciální diferenciální rovnice druhého řádu jsou parciální diferenciální rovnice, které obsahují parciální derivace nejvýše druhého řádu. V obecném tvaru je lze zapsat jako

$F\left(x_1,x_2,...,x_n,z,\frac{\part z}{\part x_1},\frac{\part z}{\part x_2},...,\frac{\part z}{\part x_n},\frac{\part^2 z}{\part x_1^2},\frac{\part^2 z}{\part x_1 \part x_2}, ...,\frac{\part^2 z}{\part x_1 \part x_n},\frac{\part^2 z}{\part x_2^2},\frac{\part^2 z}{\part x_2 \part x_3},...,\frac{\part^2 z}{\part x_n^2}\right)$

[editovat] Speciální typy rovnic druhého řádu

Některé parciální diferenciální rovnice druhého řádu, které mají speciální tvar, lze řešit, popř. zjednodušit, pomocí jednoduchých postupů.

Do této skupiny spadají např. parciální diferenciální rovnice, které obsahují parciální derivace pouze podle jedné proměnné. Jde tedy o rovnice typu

$F\left(x_1,x_2,...,x_n,z,\frac{\part z}{\part x_1},\frac{\part^2 z}{\part x_1^2}\right) = 0$

Rovnice, které mají tento tvar, můžeme řešit jako obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu.

Další skupinou parciálních diferenciálních rovnic jsou rovnice, u nichž lze snížit řád derivace. Jde o rovnice typu

$F\left(x_1,x_2,...,x_n,\frac{\part z}{\part x_1},\frac{\part^2 z}{\part x_1^2},\frac{\part^2 z}{\part x_1 \part x_2},\frac{\part^2 z}{\part x_1 \part x_3},...,\frac{\part^2 z}{\part x_1 \part x_n}\right) = 0$

V rovnici tohoto typu použijeme substituci

$\frac{\part z}{\part x_1} = y$

S pomocí této substituce převedeme rovnici do tvaru

$F\left(x_1,x_2,...,x_n,y,\frac{\part y}{\part x_1},\frac{\part y}{\part x_2},...,\frac{\part y}{\part x_n}\right) = 0$

Tato rovnice je parciální diferenciální rovnice prvního řádu, jejímž obecným řešením je funkce $y$ . Toto řešení dosadíme do $\frac{\part z}{\part x_1} = y$ a integrací získáme obecné řešení původní rovnice.

[editovat] Metoda separace proměnných

Často používanou metodou je metoda separace proměnných (Fourierova metoda).

Tato metoda je založena na předpokladu, že řešení diferenciální rovnice lze vyjádřit ve tvaru

z (x 1, x 2, x 3,..., x n) = g (x 1) + h (x 2, x 3,..., x n)

popř. ve tvaru

z (x 1, x 2, x 3,..., x n) = g (x 1) h (x 2, x 3,..., x n)

Dosadíme-li některý z uvedených výrazů do parciální diferenciální rovnice druhého řádu, a pokud se podaří oddělit při řešení obě funkce $g, h$ , pak tímto postupem převedeme parciální diferenciální rovnici na soustavu diferenciálních rovnic. Použití některé z uvedených substitucí má tedy za cíl převést parciální diferenciální rovnici druhého řádu do tvaru

$G\left(x_1,g,\frac{\part g}{\part x_1},\frac{\part^2 g}{\part x_1^2}\right) = H\left(x_2,x_3,...,x_n,h,\frac{\part h}{\part x_2},\frac{\part h}{\part x_3},...,\frac{\part h}{\part x_n},\frac{\part^2 h}{\part x_2^2},\frac{\part^2 h}{\part x_2 \part x_3},...,\frac{\part^2 h}{\part x_2 \part x_n},\frac{\part^2 h}{\part x_3^2},\frac{\part^2 h}{\part x_3 \part x_4},...,\frac{\part^2 h}{\part x_n^2}\right)$

Vzhledem k tomu, že na levé straně je pouze proměnná $x 1$ , zatímco na pravé straně jsou pouze proměnné $x 2, x 3,..., x n$ , může být tato rovnost splněna pouze tehdy, pokud se obě strany rovnice rovnají téže konstantě. Uvedenou rovnici lze tedy vyjádřit soustavou rovnic

$G\left(x_1,g,\frac{\part g}{\part x_1},\frac{\part^2 g}{\part x_1^2}\right) = K$

$H\left(x_2,x_3,...,x_n,h,\frac{\part h}{\part x_2},\frac{\part h}{\part x_3},...,\frac{\part h}{\part x_n},\frac{\part^2 h}{\part x_2^2},\frac{\part^2 h}{\part x_2 \part x_3},...,\frac{\part^2 h}{\part x_2 \part x_n},\frac{\part^2 h}{\part x_3^2},\frac{\part^2 h}{\part x_3 \part x_4},...,\frac{\part^2 h}{\part x_n^2}\right) = K$

Přestože nelze separaci proměnných použít ve všech případech, je tato metoda účinná i při řešení některých nelineárních parciálních diferenciálních rovnic.

[editovat] Lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu

Jako lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu pro funkci dvou nezávisle proměnných $x, y$ označujeme diferenciální rovnici, kterou lze zapsat v obecném tvaru

$A(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part x^2} + 2B(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part x \part y}+C(x,y)\frac{\part^2 z(x,y)}{\part y^2}+D(x,y)\frac{\part z(x,y)}{\part x}+E(x,y)\frac{\part z(x,y)}{\part y}+F(x,y)z(x,y)+G(x,y) = 0$ ,

kde $A, B, C, D, E, F, G$ jsou spojité funkce proměnných $x, y$ na oblasti $Ω$ , na které uvedenou rovnici řešíme.

Vytvoříme determinant

$\delta = \begin{vmatrix} A(x,y) & B(x,y) \\ B(x,y) & C(x,y) \end{vmatrix}$

Pokud si pro všechny body oblasti $Ω$ determinant $δ$ zachovává své znaménko (v celé oblasti $Ω$ má tedy $δ$ stejné znaménko), pak uvedené lineární diferenciální rovnice dělíme následujícím způsobem:

pro $δ > 0$ jde o eliptickou diferenciální rovnici
pro $δ = 0$ jde o parabolickou diferenciální rovnici
pro $δ < 0$ jde o hyperbolickou diferenciální rovnici

Typ rovnice se při souřadnicových transformacích zachovává.

[editovat] Kanonický tvar rovnice

Každou rovnici daného typu lze vhodnou transformací souřadnic převést v okolí každého bodu $(x_0,y_0)\in\Omega$ převést na tzv. kanonický tvar.

Kanonický tvar eliptické rovnice je

$\frac{\part^2 z}{\part x^2} + \frac{\part^2 z}{\part y^2} + a_1(x,y)\frac{\part z}{\part x} + b_1(x,y)\frac{\part z}{\part y} + c_1(x,y)z + d_1(x,y) = 0$

Kanonický tvar parabolické rovnice lze zapsat jako

$\frac{\part^2 z}{\part y^2} + a_2(x,y)\frac{\part z}{\part x} + b_2(x,y)\frac{\part z}{\part y} + c_2(x,y)z+d_2(x,y) = 0$

Hyperbolická rovnice má kanonický tvar

$\frac{\part^2 z}{\part x^2} - \frac{\part^2 z}{\part y^2} + a_3(x,y)\frac{\part z}{\part x} + b_3(x,y)\frac{\part z}{\part y} + c_3(x,y)z+d_3(x,y) = 0$

Rozdělení na eliptické, hyperbolické a parabolické rovnice se užívá také pro funkce více proměnných. Pro funkce více proměnných však v obecném případě nelze najít transformaci v celém okolí daného bodu, ale pouze v daném bodě.

O rovnici hovoříme jako o eliptické v daném bodě, pokud ji lze vhodnou transformací souřadnic v tomto bodě převést na tvar

$\sum_{k=1}^n \frac{\part^2 z}{\part x_k^2} + \cdots = 0$