Octoniões

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Números hipercomplexos

Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Complexos $\mathbb{C}$
Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$ Sedeniões $\mathbb{S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb{R}^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines

Na matemática, os octoniões são uma extensão não-associativa dos quaterniões. Sua álgebra da divisão formada de 8 dimensões sobre os números reais é o mais extenso que pode ser obtido da construção de Cayley-Dickson. A álgebra do octoniões é frequentemente denotada como $\mathbb{O}$ .

Possivelmente por não oferecem uma multiplicação associativa, os octoniões recebem às vezes menos atenção do que os quaterniões. Apesar desta falta da popularidade, eles são relacionados a um número de estruturas excepcionais na matemática, entre elas os grupos excepcionais de Lie. Octoniões são também promissores na física, por exemplo, para avanços na teoria das cordas.

[editar] Definição

Os octoniões podem ser definidos como octetos (ou 8-truplas) de números reais. Cada octonião é uma combinação linear real dos octoniões unitários $1, i, j, k, l, il, jl\,$ e $kl\,$ . Isto é, cada octonião $x\,$ pode ser escrito na forma

$x = x_0 + x_1i + x_2j + x_3k + x_4l + x_5il + x_6jl + x_7kl\,$

com coeficientes reais $x_i\,$ .

A adição dos octoniões é realizada somando-se os coeficientes correspondentes, como com os números complexos e os quaterniões. Pela linearidade, a multiplicação dos octoniões é completamente determinada pela tabela da multiplicação para os octoniões unitários dados abaixo

1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	-1	k	-j	il	-l	-kl	jl
j	-k	-1	i	jl	kl	-l	-il
k	j	-i	-1	kl	-jl	il	-l
l	-il	-jl	-kl	-1	i	j	k
il	l	-kl	jl	-i	-1	-k	j
jl	kl	l	-il	-j	k	-1	-i
kl	-jl	il	l	-k	-j	i	-1

A base para os octoniões dada aqui não é quase tão universal quanto a base padrão para os quaterniões; entretanto, quase todas as outras diferem dessa somente quanto à ordem e o sinal.

[editar] Conjugado, norma e inverso

O conjugado de um octonião

$x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl$

é dado por

$x = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl.$

A conjugação é uma involução de $\mathbb{O}$ e satisfaz $(xy)^* = y^*x^*\,$ (note a mudança de ordem).

A parte real de $x\,$ é definida como ${(x + x^*)}\over 2\,$ $= x_0\,$ e a parte imaginária como ${(x - x^*)}\over 2\,$ . O conjunto de todos os octoniões puramente imaginários forma um subespaço de 7 dimensões de $\mathbb{O}$ ,