Quaterniões hiperbólicos

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Números hipercomplexos

Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Complexos $\mathbb{C}$
Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$ Sedeniões $\mathbb{S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb{R}^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines

Na matemática, um quaternião hiperbólico é um conceito matemático sugerido primeiramente por Alexander MacFarlane em 1891 em um discurso na Associação Americana para o Avanço da Ciência. A idéia foi criticada por sua falha em adaptar-se à associatividade da multiplicação. Os quaterniões hiperbólicos são uma extensão dos números complexos hiperbólicos.

[editar] Estrutura algébrica

Como os quaterniões, o conjunto dos quaterniões hiperbólicos dá forma a um espaço vetorial sobre os números reais de dimensão 4. Uma combinação linear

$q = a + bi + cj + dk\,$

é um quaternião hiperbólico quando $a\,$ , $b\,$ , $c\,$ , e $d\,$ são números reais e o conjunto da base { $1, i, j, k\,$ } tem estes produtos:

$ij = k = - ji\,$

$jk = i = - kj\,$

$ki = j = - ik\,$

$i^2 = j^2 = k^2 = 1\,$

Ao contrário dos quaternions de Hamilton, de que estes são um forma modificada, os quaterniões hiperbólicos não são associativos. Por exemplo, $(ij) j = kj =\,$ $- i\,$ , quando $i (jj) = i\,$ . As primeiras três relações mostram que os produtos dos elementos (não-reais) da base são anti-comutativos. Embora esse conjunto da base não forme um grupo, o conjunto

{ $1, i, j, k, - 1, - i, - j, - k\,$ }

forma um quasigrupo. Note também que todo o subplano do conjunto M de quaterniões hiperbólicos que contenham o eixo real forma um plano de números complexos hiperbólicos. Se

$q * = a - bi -cj -dk\,$

é o conjugado de $q\,$ , então o produto $q (q *) = a2 - b^2 - c^2 - d^2\,$

é a forma quadrática usada na teoria do espaço-tempo. A forma bilinear chamada de produto interno de Minkowski surge como a parte real com o sinal invertido do produto dos quaterniões hiperbólicos $pq *\,$ :