Número complexo hiperbólico

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Números hipercomplexos

Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Complexos $\mathbb{C}$
Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$ Sedeniões $\mathbb{S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb{R}^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines

Na matemática, os números complexos hiperbólicos são uma extensão dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos. A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (x² + y²) em R², a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (x² − y²). Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes. Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis. Os números complexos têm muitos outros nomes; ver a seção dos sinônimos abaixo.

[editar] Definição

Um número complexo hiperbólico é um número na forma

$z = x + jy\,\!$

onde x e y são números reais e a quantidade j satisfaz

$j^2 = + 1\,\!$ .

Escolhendo j² = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade j aqui é um não número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1. A coleção de todo z é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por

$(x + jy) + (u + jv) =\,\!$ $(x + u) + j(y + v)\,\!$