雙曲複數

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數學的數

基本

自然數 負數 整數 有理數 無理數 實數 虛數 複數 代數數 超越數

延伸

雙複數 超複數 四元數 共四元數 複四元數 八元數 十六元數 Tessarine 超數 大實數 極實數 超實數

其他

公稱值 雙曲複數 序列號 超限數 序數 基數 質數 P進數 規矩數 可計算數 整數序列 數學常數 大數 圓周率 π = 3.141592654... e = 2.718281828... 虛數單位 i2 = − 1 無窮 ∞

雙曲複數是異於複數的實數的推廣。

目录 1 定義 1.1 共軛、範數 1.2 除法 1.3 基 2 幾何 3 歷史

[编辑] 定義

考慮數z = x + jy，其中x,y是實數，而量j不是實數，但j²是實數。

選取j² = − 1，得到一般複數。取 + 1的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

(x + jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v)

(x + jy)(u + jv) = (x + jy)(u) + (x + jy)(jv) = xu + jyu + jxv + j²yv = (xu + yv) + j(xv + yu)

[编辑] 共軛、範數

對於z = x + jy，其共軛值z ^* = x − jy。對於任何雙曲複數z,w，

(z + w) ^* = z ^* + w ^*

(zw) ^* = z ^* w ^*

(z ^* ) ^* = z

可見它是自同構的。

定義內積為 。若 ，說z,w（雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：。

[编辑] 除法

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為，其中k是實數。

[编辑] 基

雙曲複數有哪些冪等元？

列方程(x + jy)² = (x² + y²) + 2xyj。有四個解：1,0,s = (1 − j) / 2,s ^* = (1 + j) / 2。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。z = x + jy = (x − y)s + (x + y)s ^* 。

若將z = ae + be ^* 表示成(a,b)，雙曲複數的乘法可表示成(a,b)(c,d) = (ac,bd) 。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為(a,b) ^* = (b,a)，範數。

[编辑] 幾何

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R^1,1。正如歐幾理德平面R²的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的a，點集 是雙曲線。左邊和右邊的會經過a和 − a。a = 1稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是 ，會分別經過ja和-ja。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 分開。

歐拉公式的相應版本是e^jθ = cosh(θ) + jsinh(θ)。

[编辑] 歷史

1848年James Cockle提出了Tessarines。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的洛侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。