交換律
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交換律是被普遍使用的一個數學名詞,意指能改變某物的順序而不改變其最終結果。交換律是大多數數學分支中的基本性質,而且許多的數學證明需要倚靠交換律。簡單運算的交換律許久都被假定存在,且沒有給定其一特定的名稱,直到19世紀,數學家開始形式化數學理論之後。
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[编辑] 一般用法
交換律是一個和二元運算及函數有關的性質。而若交換律對一特定二元運算下的一對元素成立,則稱這兩個元素為在此運算下是「可交換」的。
在群論和集合論中,許多的代數結構被稱做是可交換的,若其中的運算域滿足交換律。在數學分析和線性代數中,一些知名的運算(如實數及複數上的加法和乘法)的交換律會經常被用於(或假定存在於)證明之中。[1][2][3]
[编辑] 數學定義
1. 在集合 S 的一二元運算 * 被稱之為「可交換」的,若:
- x ∗ y = y ∗ x ∀ x,y ∈ S
- 一個不滿足上述性質的運算則稱之為「不可交換」的。
2. 若稱 x 在 * 下和 y 「可交換」,即表示:
- x ∗ y = y ∗ x
3. 一二元函數 f:A×A → B被稱之為「可交換」的,若:
- f(x,y) = f(y,x) ∀ x,y ∈ A.
[编辑] 歷史
對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。[6][7]且知歐幾里德在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。[8]對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初,那時數學家開始在研究函數的理論。今日,交換律已被普遍認知,且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。
第一個使用「可交換(commutative)」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記[9][10],這一詞在筆記中被用來指有著現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。[11]
[编辑] 相關性質
[编辑] 結合律
結合律和交換律密切相關著。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地,交換律則是指運算域的順序不會影響其最終結果的性質。
[编辑] 對稱
對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數,則此一函數會對 y = x 這條線對稱。舉例來說,若設一函數 f 來表示加法(一可交換運算),所以 f(x,y) = x + y ,也因此 f 會是個如右圖所見的對稱函數。
[编辑] 例子
[编辑] 日常生活中的可交換運算
- 洗一雙鞋子可類比為一可交換運算,因為不論是左邊的鞋子先洗,還是右邊的鞋子先洗,最終的結果(兩隻鞋子都洗好)是一樣的。
- 成語「朝三暮四」也可看做是可交換運算的一個例子。
[编辑] 數學中的可交換運算
兩個廣為人知的可交換二元運算的例子為[12]:
-
- 例如, 4 + 5 = 5 + 4 ,兩個表示式都等於 9 。
-
- 例如, 3 × 5 = 5 × 3 ,兩者都等於 15 。
[编辑] 日常生活中的不可交換運算
- 洗衣和乾衣可類比成不可交換運算,因為先乾衣再洗衣和先洗衣再乾衣兩者會得出很不同的結果來。
- 魔術方塊是不可交換的。例如,將正面順時針扭轉,頂面順時針扭轉,再將正面逆時針扭轉(FUF'),並不會得出如將正面順時針扭轉,再將正面逆時針扭轉,最後再將頂面順時針扭轉(FF'U)一樣的結果。扭轉是不可交換的。這些扭轉被研究於群論中。
[编辑] 數學中的不可交換運算
一些不可交換二元運算[13]有:
[编辑] 數學結構與交換律
[编辑] 註記
- ^ Axler, p.2
- ^ Gallian, p.34
- ^ p. 26,87
- ^ Krowne, p.1
- ^ Weisstein, Commute, p.1
- ^ Lumpkin, p.11
- ^ Gay and Shute, p.?
- ^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
- ^ Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
- ^ O'Conner and Robertson, Servois
- ^ Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
- ^ Krowne, p.1
- ^ Yark, p.1
- ^ Gallian, p.34
- ^ Gallian p.236
- ^ Gallian p.250
- ^ Gallian p.65
[编辑] 參考資料
[编辑] 書籍
- Axler, Sheldon(1997).Linear Algebra Done Right, 2e.Springer.ISBN 0-387-98258-2.
- Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.
- Goodman, Frederick(2003).Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e.Prentice Hall.ISBN 0-13-067342-0.
- Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.
- Gallian, Joseph(2006).Contemporary Abstract Algebra, 6e.ISBN 0-618-51471-6.
- Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.
[编辑] 文章
- http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.
- Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.
- Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4
- Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.
[编辑] 線上資源
- Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 8 August 2007.
- Definition of commutativity and examples of commutative operations
- Explanation of the term commute
- Yark. Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 8 August 2007
- Examples proving some noncommutative operations
- O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007
- Article giving the history of the real numbers
- Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 8 August 2007
- Page covering the earliest uses of mathematical terms
- O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois, Accessed 8 August 2007
- Biography of Francois Servois, who first used the term