Twierdzenie Sylowa

Z Wikipedii

Twierdzenie Sylowa – twierdzenie teorii grup opisujące istnienie podgrup specjalnego rodzaju (tzw. podgrup Sylowa). Jego autorem jest Peter Sylow, matematyk norweski.

[edytuj] Założenia

W dalszej części artykułu p,q będą liczbami pierwszymi, z kolei . Niech G będzie grupą taką, że , gdzie p jest liczbą pierwszą i największy wspólny dzielnik (p,r) = 1. Liczbę p-podgrup Sylowa grupy G oznaczymy przez s_p.

[edytuj] Teza

Jeżeli liczba pierwsza p dzieli rząd grupy G, to:

• grupa G zawiera p-podgrupę Sylowa.
• oraz .
• jeżeli H jest p-podgrupą Sylowa w G, zaś dowolną p-podgrupą, to istnieje element dla którego . W szczególności, każda p-podgrupa grupy G jest zawarta w pewnej p-podgrupie Sylowa.
• jeżeli H₁ oraz H₂ są p-podgrupami Sylowa grupy G, to istnieje automorfizm wewnętrzny grupy G taki, że (każde dwie p-podgrupy Sylowa są sprzężone).

[edytuj] Wnioski

• Jeżeli , to istnieje w G element rzędu p (twierdzenie Cauchy'ego). Jeżeli każdy element ma rząd postaci p^k, to G jest p-grupą.
• Jeżeli p > q oraz | G | = pq, to istnieje w G podgrupa normalna rzędu p. Jeśli ponadto q nie jest dzielnikiem liczby p − 1, to grupa G jest cykliczna.
• Jeżeli , to .

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• p-grupa.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.