西羅定理

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在數學裡，尤其是在群論內，西羅(Sylow^[1])定理(以彼得·盧德維格·梅德爾·西羅來命名，或稱西洛定理)為拉格朗日定理的部份相反，拉格朗日定理敘述著若H是一個有限群G的子群，則H的目會整除G的目。西格定理則保證，對於G之目的某些因數，會有對應此些因數的子群存在著，且會給出有關此類子群之數目的相關訊息。

目录 1 定義 2 西羅定理 3 應用例子 4 西羅定理的證明 5 得到一個西羅子群 6 參考資料 7 注釋

[编辑] 定義

設p是一個質數；則可定義一個G的西羅p-子群(有時稱為p-西羅子群)，其為G的最大p-子群(即一個其為p-群且不為其他G之p-子群的純子群之子群)。所有給定一質數p之西羅p-子群所組成之集合有時會寫成Syl_p(G)。

在一種或另一種意思下皆為最大之子群的集合在群論中並沒有不一樣。這裡很不可思犧的為在Syl_p(G)內的例子，每個元素都會實際地同構於另一個元素；且此一性質可以被用來決定G的其他性質。

[编辑] 西羅定理

下列的定理由挪威數學家彼得·盧德維格·梅德爾·西羅首次於1872年提出且證明出，並發表於《Mathematische Annalen》中。給定一有限群G和一可整除G之目的質數p，可以將G的目寫成pⁿ · s，其中n>0且p不可整除s。

定理1：存在一個其目為pⁿ之G的西羅p-子群。

下面定理1較不一般的版本由柯西首次證明出。

推論：給定一有限群G和一可整除G之目的質數p，則存在一個其目為p之G內的元素。

定理2：若H是G的子群、|H|=p^s且P為G的p-西羅子群，則存在一個G內的元素a使得aHa^-1為P的一個子群。特別地是，所有G的西羅p-子群皆會共軛(且因此同構)於另一個，亦即若H和K為G的西羅p-子群，則存在一個於G內的元素g能使得g⁻¹Hg = K。

定理3：設n_p為G的西羅p-子群之數目，

• n_p會整除G內西羅p-子群的指標；
• n_p = 1 mod p。

特別地是，上述表示著每個西羅p-子群都會有相同的目pⁿ；相反地，若一個子群有pⁿ目，則其為一個西羅p-子群，且會同構於每個其他的西羅p-子群。基於質數最大次方的條件，若H為G的任一個p-子群，則H會為一個有pⁿ目之p-子群的子群。

定理3的一個很重要結論為n_p=1的條件會等價於描述此一G的西羅p-子群是一個正規子群。(存在一個沒有正規西羅子群但有正規子群的群，如S₄。)

西羅定理有個對無限群的類比。可定義一個於無限群中的西羅p-子群為一個在所有群內之p-子群的內含關係內為極大的p-子群。此類的子群會存在於佐恩引理中。

定理：若K為一個G的西羅p-子群，且n_p = |Cl(K)|為有限的，則每一個西羅p-子群都會共軛於K，且n_p = 1 mod p，其中Cl(K)表示為K的共軛類。

[编辑] 應用例子

設G為一個其目為15 = 3 · 5的群，則n₃必須整除5，且n₃=1 mod 3。其中唯一滿足上述限制的值只有1；因此，只存在一個其目為3的子群，且其必須為正規子群(因為其沒有其他的共軛)。相似地，n₅會整除3，且n₅=1 mod 5；因此亦只有一個其目為5的正規子群。當3和5為互質時，此兩個子群的交集為當然群，所以G必須要是個循環群。因此，只存在一個其目為15的群(以同構來分)，標記為Z/15Z。

舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個其目為350的簡單群。若|G| = 350 = 2 · 5² · 7，則n₅必須整除14(=2·7)，且n₅ = 1 mod 5。因此，n₅=1(因為6和11都不會整除14)，而因此G必然會有一個其目為5²的正規子群，故不可能為簡單群。

[编辑] 西羅定理的證明

西羅定理的證明利用了群作用的許多概念。群G會以許多種方式作用在其自身或其p-子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於1959年H.Wielandt所發表之整合的論述。在下面的論述中，用a|b來表示「a會整除b」，而a b則用來表示「a不可整除b」。

定理1：一個其目|G|可以被一質數次方p^k整除的有限群G會有一個其目為p^k的子群。

證明：設|G|=p^km且將p^r選定為無法存在整除m的p之更高次方。令Ω標記為由G內大小為p^k之子集所組成的集合，可知|Ω| = 及p^r+1 ，基於之前r的選定。令G以左乘積作用於Ω上，則基於r之選定，會存在一個於Ω內的A，其具有一個會使p^r+1 |θ|之軌道θ=A^G。這裡會有|θ| = |A^G| = [G : G_A]的關係，其中G_A標示為集合A的隱定子子群，因此p^k | |G_A|，故p^k ≤ |G_A|。注意在G_A的作用下之於A內的兩個元素a和ga可能為不同個的，所以|A| ≥ |G_A|。由上述p^k ≤ |G_A|和|A| ≥ |G_A|兩個結果，故知|G_A| = p^k。然後，G_A即為此一想要的群。

引論: 設G為一個有限p-群，將G作用於一個有限集合Ω上，及令Ω₀為在G的作用下為固定之Ω內的點所組成之集合。然後可知|Ω| ≡ |Ω₀| mod p。

證明：將Ω寫成在G下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在Ω內的元素x若在G的作用下不固定的話，其將會在其目為|G|/|G_x|之軌道上(其中G_x為隱定子)，此目依題目的假設會是p的倍數(不可能為1，因為其目為1的軌道即為在G的作用下固定的點)。因此結論立即就出來了。

定理2：若H是G的子群且|H|=p^s，以及P為G的p-西羅子群，則存在一個在G內的元素a會使得aHa^-1為P的子群。特別地是，所有G的西羅p-子群都會共軛(且因此同構)於另一個，即若H和K為G的西羅p-子群，則存在一個G內的元素g會使得g⁻¹Hg = K。

證明：設Ω為G內P的左陪集所組成的集合，及H以左乘積作用在Ω上。應用H於Ω上的引理，可知|Ω₀| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定義可知p [G : P]，所以p |Ω₀|，且因為|Ω₀| ≠ 0，故會存在一些gP ∈ Ω₀。因此對每個於H內的元素h，hgP = gP，故g⁻¹hgP = P且g⁻¹hg ∈ P，且因此h ∈ gPg⁻¹，故H會包含於某些G內元素g之gPg⁻¹內。若H為一個西羅p-子群，則|H| = |P| = |gPg⁻¹|，因此對某些在G內的g，H = gPg⁻¹。

定理3：設q為一有限群G的任一西羅p-子群的目，則n_p | |G|/q且n_p ≡ 1 mod p。

證明：依定理2，n_p = [G : N_G(P)]，其中P為任一個子群且N_G(P)為於G內P的正規化子，可知此數為|G|/q的因數。令Ω為所有G的西羅p-子群所組成的集合，且P以共軛作用於Ω上。設Q ∈ Ω₀並可知對所有x ∈ P，Q = xQx⁻¹，因此P ⊆ N_G(Q)。依定理2，P和Q會於N_G(Q)內共軛，尤其是Q會在N_G(Q)為正規，故可知P = Q。由上可知Ω₀ = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω₀| = 1 mod p。

[编辑] 得到一個西羅子群

由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由William Kantor證明出一個西羅p-子群可以在輸入數量的多項式時間內被找到。

[编辑] 參考資料

• Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link
• H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959.

[编辑] 注釋

1. ^ 國際音標：/syːlɯːʋ/