Podgrupa normalna

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Warunki równoważne normalności
- 1.2 Uwagi
2 Wnioski
3 Przykłady
4 Bibliografia
5 Zobacz też

Podgrupa normalna (niezmiennicza, dzielnik normalny) – rodzaj podgrupy umożliwiający badanie struktury grupy poprzez grupy ilorazowe, w których podgrupa ta jest utożsamiana z elementem neutralnym.

[edytuj] Definicje

Podgrupę $N$ grupy $G$ nazywa się podgrupą normalną, jeśli wszystkie jej warstwy lewostronne równają się odpowiadającym im warstwom prawostronnym, tzn gdy $g N = N g$ dla wszystkich $g\in G$ . Piszemy wtedy $N \trianglelefteq G$ .

[edytuj] Warunki równoważne normalności

Niech $N$ będzie podgrupą grupy $G$ . Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) N jest podgrupą normalną,

(ii) zbiory warstw lewo- i prawostronnych N w G są identyczne,

(iii) relacja równoważności $\varrho$ na zbiorze

G

określona wzorem

$a \;\varrho\; b \overset\underset\mathrm{def}\ \iff ab^{-1} \in N$

jest zgodna z działaniem w grupie

G

, czyli dla wszystkich $a, b, c, d \in G$

$(a \;\varrho\; b) \and (c \;\varrho\; d)\ \Rightarrow\ (ac) \;\varrho\; (bd)$ ,

(iv) dla każdego $g \in G$ zachodzi $gNg^{-1} \subseteq N$ ,

(v) dla każdego $g \in G$ zachodzi

g N g - 1 = N

(vi) grupa N jest niezmiennicza ze względu na sprzężenia, tj. dla każdego elementu

n

z podgrupy

N

oraz dla każdego elementu

g

z grupy

G

element

g n g - 1

jest w

N

(vii) N jest sumą klas sprzężoności G,

(viii) istnieje pewien homomorfizm określony na G, którego jądrem jest N.

Każdy z powyższych warunków może być przyjęty za definicję normalności podgrupy.

Niektórzy autorzy używają oznaczenia $\operatorname{NSub}\; G$ dla rodziny wszystkich podgrup normalnych grupy $G$ (od angielskiego terminu Normal Subgroup).

[edytuj] Uwagi

Podgrupy trywialne grupy $G$ , czyli zawarte w niej grupa trywialna oraz cała grupa $G$ , są w niej normalne – nazywa się je trywialnymi podgrupami normalnymi. Nietrywialne podgrupy normalne grupy $G$ nazywa się właściwymi podgrupami normalnymi i oznacza czasem za pomocą symbolu $\vartriangleleft$ . Grupa, która nie ma właściwych podgrup normalnych nazywa się grupą prostą.

Podgrupy normalne są niezmiennicze ze względu na działanie całej grupy na sobie przez automorfizmy wewnętrzne. Podgrupy niezmiennicze ze względu na wszystkie automorfizmy nazywa się podgrupami charakterystycznymi.

[edytuj] Wnioski

Jeśli $G$ jest przemienna, to każda podgrupa $H \le G$ jest normalna.
Jeżeli $| G : H | = 2$ , to $H$ jest podgrupą normalną w $G$ (istnieją wyłącznie dwie warstwy lewostronne jak i prawostronne: izomorficzne z $H$ oraz z $G \setminus H$ , stąd $eH = He \simeq H$ , co oznacza, że $H$ jest normalna).

[edytuj] Przykłady

W dowolnej grupie przemiennej każda jej podgrupa jest normalna. Grupy w których każda podgrupa jest normalna nazywane są grupami Hamiltona, istnieją nieprzemienne grupy tego rodzaju.
Podgrupa obrotów $J_n = \langle a \rangle$ jest normalna grupie izometrii wielokąta foremnego $D_n = \langle a, b \rangle$ , gdzie $a$ jest obrotem, $b$ – dowolną symetrią osiową, $n$ – liczbą wierzchołków wielokąta (podgrupa ta jest nawet charakterystyczna).
Podgrupa alternująca $A n$ grupy symetrycznej $S n$ jest w niej normalna, ponieważ $| S n : A n | = 2$ dla każdego $n \in \mathbb N$ .