K-algebra

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Rodzaje
2 Własności
3 Przykłady
4 Podalgebry
5 Zobacz też

Zasugerowano, aby ten artykuł zintegrować z artykułem algebra liniowa (struktura). (dyskusja)

Algebra nad ciałem, K-algebra – pewna szczególna struktura algebraiczna.

[edytuj] Definicja

Niech $A$ będzie niepustym zbiorem $A$ , zaś $K$ dowolnym ciałem. Jeżeli spełnione są warunki:

$A$ jest pierścieniem,
$A$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem $K$ względem dodawania w pierścieniu i mnożenia elementów z $A$ przez elementy ciała $K$ ,
mnożenie wewnętrzne w pierścieniu $A$ i mnożenie wektorów przez skalary z ciała $K$ spełniają

$\forall_{a\in K}\forall_{x,y\in A}\;a(x\cdot y)=(ax)\cdot y=x\cdot(ay)$ ,

to zbiór $A$ nazywamy algebrą nad ciałem $K$ lub krótko: $K$ -algebrą .

[edytuj] Rodzaje

Jeśli mnożenie wektorów w $A$ jest przemienne, to algebrę $A$ nazywa się algebrą przemienną (nad ciałem $K$ ) lub $K$ -algebrą przemienną, jeśli istnieje element neutralny mnożenia to $A$ nazywa się algebrą (nad ciałem $K$ ) z jednością albo $K$ -algebrą z jednością.

Niezerową algebrę z jednością nazywamy algebrą z dzieleniem, jeżeli każdy jej niezerowy element jest odwracalny. Jeśli dodatkowo jest to algebra przemienna, to otrzymaną strukturę nazywa się po prostu ciałem.

[edytuj] Własności

Bazą $K$ -algebry $A$ jest baza przestrzeni liniowej $A$ nad ciałem $K$ , a wymiarem $\dim_K A$ K-algebry $A$ jest wymiar $\dim_K A$ przestrzeni $A$ .

[edytuj] Przykłady

Każde ciało $K$ można traktować jako jednowymiarową przestrzeń liniową nad tym ciałem, zaś przestrzeń nad $K$ można traktować jako jednowymiarową algebrę przemienną z dzieleniem dla naturalnego dla tego ciała działania mnożenia oraz wyróżnionego elementu zwanego jednością.
Każde rozszerzenie $L$ ciała $K$ może być traktowane jako $K$ -algebra przemienna (z mnożeniem zewnętrznym elementów z $L$ przez elementy z $K$ zdefiniowanym jako ograniczenie mnożenia $\cdot: L\times L\to L$ do $\cdot_K: K\times L\to L$ ).
Zbiór $M n (K)$ wszystkich macierzy kwadratowych stopnia $n$ nad ciałem $K$ z dodawaniem i mnożeniem macierzy oraz działaniem zewnętrznym określonym następująco:

$a\cdot[a_{ij}]:=[aa_{ij}]$ , dla $a\in K$

jest

K

-algebrą nieprzemienną o wymiarze $\dim_K M_n(K)=n^2$ .

Zbiór $K [t]$ wszystkich wielomianów o współczynnikach z ciała $K$ z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez elementy ciała $K$ jest $K$ -algebrą przemienną.
Zbiór $K (t)$ wszystkich funkcji wymiernych o współczynnikach z ciała $K$ z dodawaniem i mnożeniem funkcji wymiernych oraz mnożeniem funkcji przez elementy ciała $K$ jest $K$ -algebrą przemienną.
Zbiór $\operatorname{End}_K\,V$ wszystkich endomorfizmów przestrzeni wektorowej z działaniami dodawania i mnożenia endomorfizmów oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary z ciała $K$ jest $K$ -algebrą nieprzemienną, gdy $\dim_K V>1$ .
Algebra kwaternionów (por. kwaterniony)

[edytuj] Podalgebry

Jeśli $B\subset A$ jest podprzestrzenią przestrzeni $A$ i równocześnie podpierścieniem pierścienia $A$ , to $B$ jest także $K$ -algebrą nazywaną wówczas podalgebrą $K$ -algebry $A$ .