多元環

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数学において、多元環（たげんかん、algebra）とは可換環上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているような積を持つ代数的構造のことである。algebra を直訳^[1]して代数（だいすう）と呼ぶことも多い。また、ブルバキでは（結合的なものを）線型環（せんけいかん）と呼んでいる。

[編集] 定義

A を台集合とする、可換環 R 上の分配多元環（ぶんぱいたげんかん、distributive albegra; 分配的多元環）もしくは R-代数とは、

A には 3 つの演算：加法 "+", 乗法 "×", R の各元 α によるスカラー乗法 "α ·" が定義される。
和と積に関して（必ずしも単位的・結合的でない）環を成す。
1. 和に関してアーベル群を成す。
  1. 和の交換法則：x + y = y + x が、任意の x, y ∈ A に対して成り立つ。
  2. 和の結合法則： x + (y + z) = (x + y) + z が、任意の x, y, z ∈ A に対して成り立つ。
  3. 零元の存在： x + 0_A = x が任意の x ∈ A に対して成り立つような 0_A が A に存在する。
  4. マイナス元の存在：任意の x ∈ A に対し、x + (−x) = 0_A を満たすような A の元 −x が存在する。
2. 積の双線型性（分配法則）： (x + y)× z = (x × z) + (y × z), x ×(y + z) = (x × y) + (x × z) が、任意の x, y, z ∈ A に対して成り立つ。
和とスカラー倍に関して R 上の加群を成す。
1. α(x + y) = αx + αy が、任意の α ∈ R, x, y ∈ A に対して成り立つ。
2. (α + β)x = αx + βx が、任意の α, β ∈ R, x ∈ A に対して成り立つ。
3. (αβ)x = α(βx) が、任意の α, β ∈ R, x ∈ A に対して成り立つ。
α(a × b) = (αa)× b = a ×(αb) が任意の α ∈ R と a, b ∈ A に対して成り立つ。

という条件を全て満たす組 (A, +, 0, ×, R) のことである。一般には演算を省略して台集合 A そのものを多元環と呼ぶことが多い。また、R が単位元 1_R を持つならば、

作用の単型性: 1_R x = x が任意の x ∈ A に対して成り立つ。

も仮定に加えることが多い。さらに、乗法 "×" が結合法則を満たすなら A は結合多元環（けつごうたげんかん、associative algebra; 結合的多元環）であるという。文脈により紛れのないと思われる場合においては、分配多元環あるいは結合多元環を省略して、単に多元環とよぶことがある。積が結合的ではない多元環で重要なものにリー環やジョルダン環などがある。また、多元環が乗法単位元 1_A を持つならば単位的であるといい、乗法が交換法則を満たすならば可換であるという。

[編集] 例

任意のベクトル空間 V に積を、任意の a, b ∈ V に対し ab = 0 と定めると多元環になる。（これは可換リー環にもなっている。）
体 K の任意の拡大体 L は K 上の多元環。
環 R 上の n 次全行列環 M_n(R) は R 上の多元環。体 F 上の中心的単純環は、ある F 上の斜体 D 上の全行列環 M_r(D) に同型である（Wedderburn の定理）。
可換環 R 上の多項式環 R[x] は、高々 n 次の多項式の全体を A_n とおくことにより、次数つき多元環になる。

[編集] 多元環の準同型

可換環 R 上の多元環 A, B が与えられたとき、写像 f: A → B が R-多元環の準同型 (R-algebra homomorpism) あるいは射 (R-algebra morphism) であるとは、f がR-線型かつ環の準同型となること、つまり

f (α x + β y) = α f (x) + β f (y),

f (x y) = f (x) f (y)

を満たすことをいう。ただし、A, B ともに単位元のある場合は

f (1 A) = 1 B

も条件に加える。多元環 A から多元環 B への多元環の準同型の全体は

$\mathrm{Hom}_{R}^{\textrm{alg}}(A,B) =\mathrm{Hom}_{R\textrm{-alg}}(A,B) := \{f\colon A\to B\mid f:\text{algebra homom.} \}$

などのように表すことがある。写像として単射な多元環準同型は、多元環の埋め込み (embedding) あるいは単準同型 (monomorphism) とよび、全射な多元環準同型を全準同型 (epimorphism) とよぶ。全単射な多元環準同型 f の逆写像 f⁻¹ も全単射多元環準同型となり、これによって多元環の構造が完全に写されるので、全単射な多元環準同型を多元環の同型 (algebra isomorphism) という。

R が体で A が積 × に関する単位元 1_A をもつならば、写像

R → A; α → α1_A

は多元環の埋め込みになるので、R とその像を同一視することができる。この同一視を行うとき、R のスカラー倍は A の元としての積と一致する。同時に R は A の中心 C(A) に含まれる。R = C(A) となるなら A は R 上中心的 (central) であるという。

[編集] 多元環の構成

部分多元環
多元環の直和
商多元環
多元環のテンソル積
作用素環

[編集] 構造定数

詳細は構造定数 (数学)を参照

体上の多元環は、双線型な乗法をもつベクトル空間と見ることができる。ベクトル空間は基底をとれば、基底ベクトルの線型結合として全ベクトルを書き表すことができる。したがって、基底を取ることのできる多元環（つまり、和とスカラー倍に関して自由加群となるもの）における乗法も基底同士の積さえ決まれば、それを線型に拡張することによって全て得られる。基底を {e_i}_i∈I とするとき、基底同士の積は構造定数と呼ばれるスカラー γ_i,j^k (i, j, k ∈ I) を決定することで

$e_i e_j := \sum_{k\in I} \gamma_{i,j}^k e_k$

の形に書くことができる。したがって、一般の積は

$\left(\sum_{i\in I}\alpha_i e_i\right)\left(\sum_{j\in I}\beta_j e_j\right) = \sum_{i,j\in I}\alpha_i \beta_j e_i e_j = \sum_{i,j,k \in I} \alpha_i \beta_j \gamma_{i,j}^k e_k$

と定まる。

[編集] 付加構造

[編集] 次数付け

R-加群の列 {A_n}_n∈N の直和 A に対し、積 × が定義されて A が R-多元環となり、さらに任意の r, s ∈ N に対し、A_r × A_s ⊂ A_r+s をみたすならば、A は次数つき多元環 (graded algebra) であるという。

フィルトレーション

[編集] 多元体

詳細は斜体 (数学)を参照

多元環の定義における上記の条件に加えて

単位元の存在: x × 1_A = 1_A × x = x が任意の x ∈ A に対して成り立つような 1_A が A に存在する。
逆元の存在：0_A でない任意の x ∈ A に対し、x × x⁻¹ = x⁻¹ × x = 1_A を満たすような A の元 x⁻¹ が存在する。

を満たすならば、A は R 上の斜体あるいは多元体、可除環 (division algebra) であるという。

[編集] 注記

^ algebra は代数学のことでもある

[編集] 関連項目

斜体
中心的単純環
群環
リー環
ジョルダン環
多重線型代数

カテゴリ: 多元環論 | 代数的構造 | 数学に関する記事

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