Topologi

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Områder i geometri
Algebraisk geometri
Differensialgeometri
Liegrupper Riemannsk geometri
Euklidsk geometri
Pythagoras' læresetning
Ikke-Euklidsk geometri
Elliptisk geometri Sfærisk geometri Hyperbolsk geometri Projektiv geometri
Topologi
Algebraisk topologi Generell topologi
Trigonometri

Topologi (fra gresk topos, sted og logos, lære) er en gren av den moderne geometrien. Denne matematiske disiplinen har tidligere gått under navnet analysis situs.

I topologien behandles topologiske rom (dvs. figurer, legemer, rom, flater, kurver, osv.) og de egenskapene som avhenger av hvordan det topologiske rommet "henger sammen". Eksempelvis er dimensjone en topologisk egenskap, mens størrelse og plassering er ikke slike egenskaper. Topologi kan derfor betegnes som gummigeometri.

Eksempelvis er en kule og en kube det samme topologiske rommet, men begge er ulik en sirkel.

Topografi handler om kunsten å beskrive topologiske former. Denne grenen ble først utviklet for landskaper, men er nå utvidet til å omfatte både undervannskaper og underjordiske formasjoner, med tredimensjonale hologrammer som foreløpig høydepunkt.

[rediger] Definisjon

En topologi på en mengde beskriver hvilke delmengder som skal betraktes som åpne. Mer presist er et par $(X, T)$ et topologisk rom dersom $X$ er en mende og $T$ er en mengde delmengder av $X$ slik at

både den tomme mengden $\emptyset$ og $X$ er i $T$ ,
en vilkårlig union av mengder fra $T$ er også i $T$ og
et endelig snitt av mengder fra $T$ er også i $T$ .

Delmengdene i $T$ kalles åpne, mens et komplement av en mengde i $T$ kalles lukket.

Alternativt kan en topologi spesifiseres ved å angi en omegnsstruktur.

[rediger] Eksempler

I den trivielle topologien på en mengde $X$ er kun $\emptyset$ og $X$ åpne mengder.

I den diskrete topologien på en mengde $X$ er alle delmengder åpne.

I standardtopologien på de reelle tall, $\mathbb{R}$ , er de åpne mengdene alle unioner av åpne intervall.

[rediger] Referanser

Seymour Lipschutz: General Topology. Schaum Publishing co., 1965.
Arlo W. Schurle: Topics in Topology. Elsevier North Holland, Inc., 1979.
Per Holm og Jon Reed: Topologi. Universitetsforlaget 1990.

Denne matematikkrelaterte artikkelen er dessverre kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. En stubbmerking uten oppgitt grunn kan fjernes ved behov.

Hovedområder i matematikk

Generelle emner • Algebra • Analyse • Anvendt matematikk • Geometri • Statistikk • Skolematematikk