توپولوژی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد.

این مقاله دربارهٔ توپولوژی به‌عنوان شاخه‌ای از ریاضیات است. برای دیگر کاربردهای توپولوژی نگاه کنید به توپولوژی (ابهام‌زدائی).

توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی فضاهای توپولوژیکی می‌پردازد.

فهرست مندرجات

۱ تاریخچه‌
۲ تعریف ریاضی
۳ مثال
۴ مقایسه‌ی توپولوژی‌های تعریف شده روی یك مجموعه
۵ توابع پیوسته
۶ چند قضیه از توپولوژی
۷ منبع
۸ جستارهای وابسته

[ویرایش] تاریخچه‌

توپولوژی یکی از شاخه‌های نسبتاً جوان ریاضیات است و از واژه‌هایی یونانی توپو (Topo) به‌معنی مکان و (Logos) به‌معناي مطالعه گرفته شده است. بنابراين، توپولوژی یعنی مکان‌شناسی. این مبحث نخستین‌بار توسط هانری پوانکاره (۱۹۱۲-۱۸۵۴) و در مقاله‌ای با نام "آنالیز مکان،" به‌عنوان مجموعه‌ای از روش‌ها و مسایل، دسته‌بندی شد. این مبحث در ادامه پیشرفت‌هایی بنیادین داشت و در شکل دادن به ریاضیات قرن بیستم و امروز، نقشی اساسی بازی کرد.

اما توپولوژی چیست؟ اشیایی مانند نوار موبیوس، بطری کلاین، گره‌ها و حلقه‌ها نخستین چیزهایی هستند که به ذهن می‌آیند. اما مردم با عبارتی طنزآمیز توپولوژیست‌ها را تعریف می‌کنند؛ آنها می‌گویند توپولوژیست کسی است که نمی‌تواند فنجان قهوه‌ی خود را از یک چنبره تشخیص دهد!

تغییرشکل پیوسته (هموتوپی) یک فنجان قهوه به یک چنبره و برعکس.

اكنون برای این که ببینیم توپولوژی چیست، بهتر است ببینیم چه ایده‌های باعث شدند پوانکاره بنیادهای این دانش را پایه‌ریزی كند. در دهه ۱۶۷۰ میلادی، گتفرید ویلهلم لایب‌نیتس (۱۷۱۶-۱۶۴۶)، در نامه‌ای به کریستین هویگنس (۱۶۲۹-۱۶۹۵)، به تشریح مفهومی پرداخت که بعدها به مهم‌ترین هدف در مطالعه‌ی توپولوژی تبدیل شد:

"من معتقدم ما به یک آنالیز دیگری هم نیاز داریم که کاملاً هندسی یا خطی باشد، به‌گونه‌ای که با مکان مستقیماً همان رفتاری را داشته باشد که جبر با مفهوم بزرگی دارد."

لایب‌نیتس رویای حساب دیفرانسیل و انتگرال اشکالی را در سر می‌پروراند که در آن فرد می‌تواند به‌سادگی اعداد، اشکال را با هم ترکیب کند، مانند چندجمله‌ای‌ها، روی آنها عمل انجام دهد و به نتایج جدید و متغن هندسی دست پیدا کند. این دانش مکان، همان است که پوانکاره آن را "آنالیز مکان" نامید. ما نمی‌دانیم که لایب‌نیتس دقیقاً چه در سر داشت؛ اما این لئونارد اویلر (۱۷۰۱-۱۷۸۳) بود که نخستین مشارکت‌ها را در این شاخه‌ی جوان--که وی آن را هندسه‌ی مکان می‌نامید-- از خود ارائه داد. راه‌حل او برای مسئله‌ی پل‌های کنیگسبرگ و فرمول مشهور اویلر، یعنی $V - E + F = 2$ (كه در آن $V$ تعداد رأس، $E$ تعداد يال و $F$ تعداد وجوه چندوجهي است)، نتایجی بودند که به موقعیت‌های نسبی اشکال هندسی-- و نه بزرگی ‌آنها-- بستگی داشتند.

در سده‌ی نوزدهم، کارل فردریک گاوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵)، هنگامی که گره‌ها و حلقه‌ها را به‌عنوان تعمیمی از مدارهای سیارات مطالعه می‌کرد، به هندسه‌ی مکان علاقه‌مند شد. او با نام‌گذاری اشکال گره‌ها و حلقه‌ها، یک دستگاه مقدماتی به‌وجود آورد که با روش ترکیبیاتی، گره‌های معینی را از یکدیگر مجزا می‌ساخت. برنهارد ریمان (۱۸۲۶-۱۸۶۶) نیز از روش‌های دانش نوپای آنالیز مکان، به‌عنوان ابزاری بنیادین برای مطالعه‌ی توابع مختلط بهره گرفت.

یک نوار موبیوس تنها یک سطح دارد و یک لبه.

در طی سده‌ی نوزدهم، آنالیز به‌عنوان دانشی ژرف و ظریف پیشرفت پیدا کرد. با آغاز از کارهای ژرژ کانتور (۱۸۴۵-۱۹۱۸)، ایده‌هایی از جمله پیوستگی توابع و هم‌گرایی دنباله‌ها، به‌گونه‌ای فزاینده و در موقعیت‌های کلی بررسی می‌شدند تا این که در سده‌ی بیستم، و در سال ۱۹۱۴، فلیکس هاوسدورف (۱۸۶۹-۱۹۴۲) ایده‌ی کلی فضای توپولوژیکی را مطرح کرد.

مفهوم بنیادین در توپولوژی، اندیشه‌ی پیوستگی است و این مفهوم برای نگاشت‌های میان دو مجموعه‌ که مجهز به مفهومی از "نزدیک بودن" باشند تعریف می‌شود (یعنی همان فضاهای توپولوژیکی) که البته این نزدیک بودن، تحت نگاشت‌های پیوسته حفظ می‌شود. توپولوژی نوعی هندسه است که در آن خواص مهم یک شکل، آنهایی درنظر گرفته می‌شوند که تحت حرکت‌های پیوسته (همئومورفیسم‌ها) حفظ گردند. در این دیدگاه، توپولوژی به‌صورت هندسه‌ی صفحاتی لاستیک‌گونه تعریف می‌شود.

[ویرایش] تعریف ریاضی

یك فضای توپولوژیكی، زوج مرتبی مانند $(X, \mathcal{T})$ است كه در آن $X$ یك مجموعه، و $\mathcal{T}$ نیز گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های $X$ است، به‌گونه‌ای كه اصول موضوع زیر ارضا شوند:

1. اجتماع هر گردایه از مجموعه‌های عضو $\mathcal{T}$ در $\mathcal{T}$ قرار داشته باشد؛

2. اشتراک هر تعداد متناهی مجموعه عضو $\mathcal{T}$ در $\mathcal{T}$ قرار داشته باشد؛ یعنی اشتراک هر گردایه متناهی از مجموعه‌های عضو $\mathcal{T}$ در $\mathcal{T}$ قرار داشته باشد؛

3. مجموعه‌های تهی و

X

، عضو $\mathcal{T}$ باشند.

گردایه‌ی $\mathcal{T}$ ، توپولوژی تعریف شده روی $X$ نام دارد. اگر توپولوژی تعریف شده روی $X$ مشخص باشد، فضای توپولوژیكی $(X, \mathcal{T})$ ، به‌طور ساده‌شده‌ی $X$ نوشته و به آن فضای $X$ گفته می‌شود. هم‌چنین، اعضای $\mathcal{T}$ ، مجموعه‌ها‌ی باز در $X$ و متمم آنها، مجموعه‌های بسته در $X$ نام دارند. اگر $X$ یک فضای توپولوژیکی باشد، به اعضای آن نقطه گفته می‌شود. اگر $x$ نقطه‌ای از یک مجموعه‌ی باز مانند $U$ باشد، به $U$ ، "یک همسایگی از $x$ " نیز گفته می‌شود.

[ویرایش] مثال

روی $\mathbb{R}$ توپولوژی‌های گوناگونی می‌توان تعریف كرد؛ اگر مجموعه‌های باز را همان بازه‌های باز درنظر بگیریم، در این‌صورت به توپولوژی به‌دست آمده، توپولوژی استاندارد روی $\mathbb{R}$ گفته می‌شود. با تعمیم این ایده، مجموعه‌های باز در توپولوژی معمولی روی فضای اقلیدسی $\mathbb{R}^{n}$ ، گوی‌های باز هستند.

[ویرایش] مقایسه‌ی توپولوژی‌های تعریف شده روی یك مجموعه

روی یک مجموعه مانند $X$ توپولوژی‌های متعددی می‌توان تعریف کرد--دست‌كم دو توپولوژی گسسته و ناگسسته. در توپولوژی گسسته، هر زیرمجموعه از $X$ ، یك مجموعه‌ی باز درنظر گرفته می‌شود و در توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، تنها مجموعه‌های باز، مجموعه‌ی $X$ و تهی هستند.

برای هر توپولوژی $\mathcal{T}$ تعریف شده روی $X$ داریم $\mathcal{T}_{indiscrete} \subset \mathcal{T} \subset \mathcal{T}_{discrete}$ . پس درشت‌ترین توپولوژی كه روی یك مجموعه می‌توان تعریف كرد، توپولوژی ناگسسته یا بی‌مایه، و ظریف‌ترین توپولوژی قابل تعریف روی یك مجموعه، توپولوژی گسسته است.

حال فرض کنید $\mathcal{T}_{1}$ و $\mathcal{T}_{2}$ دو توپولوژی روی $X$ باشند. اگر هر عضو $\mathcal{T}_{1}$ ، عضوی از $\mathcal{T}_{2}$ نیز باشد، آن‌گاه گفته می‌شود $\mathcal{T}_{2}$ ظریف‌تر از $\mathcal{T}_{1}$ است. در این صورت اثباتی که برای وجود یک مجموعه‌ی باز معین ارائه داده می‌شود، در مورد توپولوژی ظریف‌تر هم برقرار است.

[ویرایش] توابع پیوسته

برگرفته از مقاله اصلی پیوستگی

مفهوم فوق در نمایش هندسی

فرض می‌کنیم $(X, T)$ و $(Y, U)$ دو فضای توپولوژیک دلخواه باشند:

تابع $f : X \to Y$ در نقطهٔ $x$ واقع در $X$ را پیوسته گوییم، هرگاه به ازای هر مجموعهٔ باز شامل $f (x)$ مانند $B Y$ ، مجموعهٔ بازی مانند $B X$ شامل $x$ وجود داشته باشد به طوری که $f [B X]$ زیر مجموعهٔ $B Y$ باشد.

به همین ترتیب می‌گوییم تابع $f : X \to Y$ در مجموعهٔ $A$ واقع در $X$ پیوسته‌است رد صورتی که در تمام نقاط $A$ پیوسته باشد.

قضیه: تابع $f : X \to Y$ در $X$ پیوسته‌است اگر و تنها اگر به ازای هر زیر مجموعه باز در $Y$ مانند $B Y$ ، مجموعه ی $f [B Y] - 1$ زیر مجموعهٔ باز $X$ باشد.

به طور خلاصه: فرض کنید X و Y دو فضای توپولوژیکی هستند. یک تابع بین X و Y را پیوسته می‌گوییم اگر تصویر معکوس هر مجموعه باز در Y یک مجموعه باز در X باشد. در واقع نشان می‌دهیم که هیچ شکستگی یا انفصال در تابع وجود ندارد.